区间DP-前缀和优化-2478. 完美分割的方案数

问题描述

给你一个字符串 s ，每个字符是数字 '1' 到 '9' ，再给你两个整数 k 和 minLength 。

如果对 s 的分割满足以下条件，那么我们认为它是一个 完美 分割：

s 被分成 k 段互不相交的子字符串。
每个子字符串长度都 至少 为 minLength 。
每个子字符串的第一个字符都是一个 质数 数字，最后一个字符都是一个 非质数 数字。质数数字为 '2' ，'3' ，'5' 和 '7' ，剩下的都是非质数数字。
请你返回 s 的 完美 分割数目。由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 后的结果。

一个 子字符串 是字符串中一段连续字符串序列。

示例 1：

输入：s = "23542185131", k = 3, minLength = 2
输出：3
解释：存在 3 种完美分割方案：
"2354 | 218 | 5131"
"2354 | 21851 | 31"
"2354218 | 51 | 31"
示例 2：

输入：s = "23542185131", k = 3, minLength = 3
输出：1
解释：存在一种完美分割方案："2354 | 218 | 5131" 。
示例 3：

输入：s = "3312958", k = 3, minLength = 1
输出：1
解释：存在一种完美分割方案："331 | 29 | 58" 。

提示：

1 <= k, minLength <= s.length <= 1000
s 每个字符都为数字 '1' 到 '9' 之一。

问题求解

dp[i][j]: 前j个字符划分成i段分割数目。
为了方便转移，我们将s可以从下标1开始，下标0表示前0个字符，方便转移。
核心的难点在于如何优化dp，这里使用了常用技巧前缀和优化来加速迭代进程。

class Solution:
    def beautifulPartitions(self, s: str, k: int, minLength: int) -> int:
        if k * minLength > len(s) or s[0] not in "2357" or s[-1] in "2357":
            return 0

        MOD = 10 ** 9 + 7
        n = len(s)
        s = "#" + s

        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
        dp[0][0] = 1
        for i in range(1, k + 1):
            presum = 0
            for j in range(i * minLength, n + 1):
                if s[j - minLength + 1] in "2357" and s[j - minLength] not in "2357":
                    presum += dp[i - 1][j - minLength]
                    presum %= MOD
                if s[j] not in "2357":
                    dp[i][j] += presum 

        return dp[k][n]