概率-dfs-5427. 两个盒子中球的颜色数相同的概率

2020-05-31 17:21:08

问题描述：

桌面上有 2n 个颜色不完全相同的球，球上的颜色共有 k 种。给你一个大小为 k 的整数数组 balls ，其中 balls[i] 是颜色为 i 的球的数量。

所有的球都已经 随机打乱顺序 ，前 n 个球放入第一个盒子，后 n 个球放入另一个盒子（请认真阅读示例 2 的解释部分）。

注意：这两个盒子是不同的。例如，两个球颜色分别为 a 和 b，盒子分别为 [] 和 ()，那么 [a] (b) 和 [b] (a) 这两种分配方式是不同的（请认真阅读示例 1 的解释部分）。

请计算「两个盒子中球的颜色数相同」的情况的概率。

示例 1：

输入：balls = [1,1]
输出：1.00000
解释：球平均分配的方式只有两种：
- 颜色为 1 的球放入第一个盒子，颜色为 2 的球放入第二个盒子
- 颜色为 2 的球放入第一个盒子，颜色为 1 的球放入第二个盒子
这两种分配，两个盒子中球的颜色数都相同。所以概率为 2/2 = 1 。
示例 2：

输入：balls = [2,1,1]
输出：0.66667
解释：球的列表为 [1, 1, 2, 3]
随机打乱，得到 12 种等概率的不同打乱方案，每种方案概率为 1/12 ：
[1,1 / 2,3], [1,1 / 3,2], [1,2 / 1,3], [1,2 / 3,1], [1,3 / 1,2], [1,3 / 2,1], [2,1 / 1,3], [2,1 / 3,1], [2,3 / 1,1], [3,1 / 1,2], [3,1 / 2,1], [3,2 / 1,1]
然后，我们将前两个球放入第一个盒子，后两个球放入第二个盒子。
这 12 种可能的随机打乱方式中的 8 种满足「两个盒子中球的颜色数相同」。
概率 = 8/12 = 0.66667
示例 3：

输入：balls = [1,2,1,2]
输出：0.60000
解释：球的列表为 [1, 2, 2, 3, 4, 4]。要想显示所有 180 种随机打乱方案是很难的，但只检查「两个盒子中球的颜色数相同」的 108 种情况是比较容易的。
概率 = 108 / 180 = 0.6 。
示例 4：

输入：balls = [3,2,1]
输出：0.30000
解释：球的列表为 [1, 1, 1, 2, 2, 3]。要想显示所有 60 种随机打乱方案是很难的，但只检查「两个盒子中球的颜色数相同」的 18 种情况是比较容易的。
概率 = 18 / 60 = 0.3 。
示例 5：

输入：balls = [6,6,6,6,6,6]
输出：0.90327

提示：

1 <= balls.length <= 8
1 <= balls[i] <= 6
sum(balls) 是偶数
答案与真实值误差在 10^-5 以内，则被视为正确答案

问题求解：

暴力枚举放在每个框中球的个数。

    public double getProbability(int[] balls) {
        double total = get_cnt(balls);
        double sub_total = dfs(0, balls, new int[balls.length], new int[balls.length], 0, 0, 0, 0);
        return sub_total / total;
    }
    
    
    private double dfs(int idx, int[] balls, int[] left, int[] right, int lcnt, int rcnt, int ltot, int rtot) {
        if (idx >= balls.length) {
            if (ltot == rtot && lcnt == rcnt) return get_cnt(left) * get_cnt(right);
            return 0;
        }
        double res = 0;
        for (int i = 0; i <= balls[idx]; i++) {
            left[idx] = i;
            right[idx] = balls[idx] - i;
            res += dfs(idx + 1, balls, left, right, i > 0 ? lcnt + 1 : lcnt, balls[idx] - i > 0 ? rcnt + 1 : rcnt, ltot + i, rtot + balls[idx] - i);
        }
        return res;
    }
    
    
    private double get_cnt(int[] nums) {
        double res = 0;
        int sum = 0;
        for (int num : nums) sum += num;
        res = fact(sum);
        for (int num : nums) res /= fact(num);
        return res;
    }
    
    private double fact(int n) {
        double res = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) res *= i;
        return res;
    }