动态规划-887. 鸡蛋掉落

2020-04-11 16:28:43

问题描述：

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N  共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

示例 1：

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例 2：

输入：K = 2, N = 6
输出：3

提示：

1 <= K <= 100
1 <= N <= 10000

问题求解：

dp[i][j] : 拥有i枚鸡蛋，j层楼需要的最少的操作次数。现假设一枚鸡蛋在k层掉落，若摔碎，则我们只需要在k - 1层继续寻找即可，且鸡蛋数减1；若未碎则我们只需要在j - k层里寻找即可。

dp[i][j] = min(dp[i][j], 1 + max(dp[i - 1][k - 1], dp[i][j - k]))

时间复杂度：O(k * n ^ 2)

    public int superEggDrop(int K, int N) {
        int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) dp[1][i] = i;
        for (int i = 1; i <= K; i++) dp[i][1] = 1;
        for (int i = 2; i <= K; i++) {
            for (int j = 2; j <= N; j++) {
                dp[i][j] = j;
                for (int k = 1; k <= j; k++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], 1 + Math.max(dp[i - 1][k - 1], dp[i][j - k]));
                }
            }
        }
        return dp[K][N];
    }　　

对于里层的循环，其实可以通过二分的方式进行优化，优化后的时间复杂度为O(knlogn)。

    public int superEggDrop(int K, int N) {
        int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) dp[1][i] = i;
        for (int i = 1; i <= K; i++) dp[i][1] = 1;
        for (int i = 2; i <= K; i++) {
            for (int j = 2; j <= N; j++) { 
                int l = 0;
                int r = j;
                while (r - l > 1) {
                    int mid = l + (r - l) / 2;
                    if (dp[i - 1][mid - 1] >= dp[i][j - mid]) r = mid;
                    else l = mid;
                }
                dp[i][j] = 1 + Math.min(dp[i - 1][r - 1], dp[i][j - r + 1]);
            }
        }
        return dp[K][N];
    }