动态规划-买卖股票的最佳时机 V

2020-03-11 18:19:00

问题描述：

给出一个股票n天的价格，每天最多只能进行一次交易，可以选择买入一支股票或卖出一支股票或放弃交易，输出能够达到的最大利润值

样例

样例 1:

给出 `a = [1,2,10,9]`, 返回 `16`
输入:
[1,2,10,9]
输出:
16
解释:
你可以在第一天和第二天买入股票，第三天和第四天卖出
利润：-1-2+10+9 = 16 

样例 2:

给出 `a = [9,5,9,10,5]`, 返回 `5`
输入:
[9,5,9,10,5]
输出:
5
解释:
你可以在第2天买入，第4天卖出
利润:-5 + 10 = 5

注意事项

• 1 ≤ n ≤ 10000

问题求解：

之前Stock Problems里有遇到过k交易，每次手里至多有1个股票的问题；这里是一个扩展题，交易数量不限，而且手里的股票数量也不限。

网络上有人发了dfs的解，自己也尝试过使用dfs来做，但是是会TLE的，使用dfs不做剪枝操作理论的时间复杂度是指数级别的。

正确的解法是使用dp。

dp[i][j] : 前i天结束手里有j个股票所能达到的最大值

对于dp[i][j]就有三种策略，不做交易dp[i - 1][j]，买入dp[i - 1][j - 1] - prices[i - 1]，卖出dp[i - 1][j + 1] + prices[i - 1]。

边界条件再完善一下就可以了。

本题直接开dp[n + 1][n + 1]会MLE，需要使用滚动数组来降低空间复杂度才能AC。另外，感觉题目的test case比较水，没有达到10000的量级，上述的解的时间复杂度约为O(n ^ 2)，理论上是过不了大数据的。尝试提交了一下，还是AC了。

时间复杂度 ：O(n ^ 2)。

    public int getAns(int[] a) {
        int n = a.length;
        int[] dp = new int[n + 1];

        int[] presum = new int[n];
        presum[0] = a[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) presum[i] = presum[i - 1] + a[i];

        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int[] prev = Arrays.copyOf(dp, n);

            dp[0] = Math.max(prev[0], prev[1] + a[i - 1]);
            dp[i] = -presum[i - 1];
            dp[i - 1] = Math.max(dp[i - 1], i >= 2 ? prev[i - 2] - a[i - 1] : Integer.MIN_VALUE);
            
            for (int j = 1; j <= i - 2; j++) {
                dp[j] = Math.max(Math.max(prev[j], prev[j - 1] - a[i - 1]), prev[j + 1] + a[i - 1]);
            }
        }
        return dp[0];
    }