基于比较排序的算法复杂度的下界

2019-04-28 20:51:54

首先，所有基于比较的排序算法，都是以决策树模型作为依据的。
对于待排序的 n 个元素，其所有可能的排序种数为 n! ，其决策树高度为h （即为排序算法比较的次数）
高度为 h 的决策树，最多有叶子节点 2^{h} 个，所以就有 2^{h}>=n!
h>=log(n!)

由斯特林近似公式：
n!=\sqrt{2\pi n} *(\frac{n}{e} )^{n}*(1+\Theta (\frac{1}{n} ))
得 h>=\frac{1}{2} log(2\pi)+\frac{1}{2}log(n)+nlog(n)-nlog(e)+log(1+\Theta (\frac{1}{n}))
其中，\Theta (\frac{1}{n} )\in \left[ e^{\frac{1}{12n+1} } \,,e^{\frac{1}{12n}} \right]
故，h 的渐近下界为\Omega (nlog(n))
 
【补充】
如果不使用斯特林公式，依然可以证明得到log(n!)和nlogn是同阶的。
1）显然的是n! < n^n，因此log(n!) < nlogn
2) n! = n * (n - 1) * ... * 1, 我们可以将前n / 2的数字放缩到n / 2，后面的所有数字舍去，因此n! > (n / 2) ^ (n / 2)，得log(n!) > nlog(n)
综上，logn! 和 nlogn是同阶的。
posted @ 2019-04-28 20:57  hyserendipity  阅读(1491)  评论(0)  编辑  收藏  举报