ACDream - Power Sum

先上题目：

Power Sum

Time Limit: 20000/10000MS (Java/Others) Memory Limit: 128000/64000KB (Java/Others)

SubmitStatus

Problem Description

给出n,m,p，求 (1^m + 2^m + 3^m + 4^m + ... + n^m) % p

Input

第一行一个数T( <= 10),表示数据总数 

然后每行给出3个数n,m,p(1 <= n <= m <= 10^18, 1 <= p <= 10^6, p是质数

Output

每组数据输出你求得的结果

Sample Input

2
1 1 11
3 2 11

Sample Output

1
3

Hint

i^m即求 i * i * i * i * i... * i(m个i)，比如2^3即2 * 2 * 2 

 

　　分析，首先n很大，但是这个求和需要模p,所以我们可以考虑将求和范围压缩在0~p-1中间，然后求出结果以后乘上倍数再加上剩余部分就可以了。但是这样时间复杂度还会是很大。这里还可以用欧拉定理来优化。

　　n,a为正整数，且n,a互质，则:　　　　

 

　　

　　

 

　　因为这里我们已经已经将求和范围压缩在0~p-1里面了，同时因为p是一个质数，所以我们知道1~p-1的数都符合上述的公式。对于求次幂，我们可以用快速幂，这样问题就基本解决了。这就是标准解法。问题是我用这种方法结果还是超时了，主要问题好像是取模太多了。

 

　　于是我又想出另一种解法对于每一个数都可以分解成素数相乘，那我们先压缩数据在0~p-1之间，然后就可以将这些数分解成质数的幂相乘，然后我们可以想素数筛法那样求一遍，最终就可以得到结果。这种方法之所以可以使用是因为10^6一下的质数大概有1.2*10^5这么多个，不算多，所以可行。同时这种方法相对于前面的方法速度上应该会更快。前一种方法的时间复杂度大概是O(p*logp)，后一种方法的时间复杂度大概是O(ploglogp)，接近O(p)。

 

 

 

 

 

 

上代码：

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define LL long long
#define MAX 1000002
using namespace std;
 
LL n,m,p,ti;
 
 
bool f[MAX];
LL mm[MAX];
LL ans,rr,r;
 
LL Fast_Mod(LL i,LL t){
    LL a = 1;
    while(t){
        if(t&1) a = i*a%p;
        i = (i%p)*(i%p)%p;
        t>>=1;
    }
    return a;
}
 
void solve1(){
    ans=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=p;i++) mm[i]=1;
    LL u;
    f[1]=1;
    for(LL i=1;i<=p;i++){
        if(!f[i]){
            mm[i] = Fast_Mod(i,m);
            for(LL j=i+i;j<=p;j+=i){
                f[j]=1;
                u = j;
                while(u%i==0){
                    u/=i;
                    mm[j]=mm[j]*mm[i]%p;
                }
            }
        }
        ans = (ans + mm[i])%p;
        if(i<=r) rr=ans;
    }
}
 
void solve2(){
    ans=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=r;i++) mm[i]=1;
    LL u;
    f[1]=1;
    for(LL i=1;i<=r;i++){
        if(!f[i]){
            mm[i] = Fast_Mod(i,m);
            for(LL j=i+i;j<=r;j+=i){
                f[j]=1;
                u = j;
                while(u%i==0){
                    u/=i;
                    mm[j]=mm[j]*mm[i]%p;
                }
            }
        }
        ans = (ans + mm[i])%p;
    }
}
 
 
int main()
{
    int t;
    //freopen("data.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&p);
        ti = n/p;
        r = n%p;
        rr=0;
        if(ti!=0){
            solve1();
            ans = (ans*ti)%p;
            ans = (ans+rr)%p;
        }else{
            solve2();
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}