#多项式定理

#多项式定理

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#瓮模型Urn

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$n$个瓮里各有一个球，各个球不同，从中取出$k$个球，则有几种取法（$k$个球是有排列的）？

回忆：

case1:

每次取出后放回去，由乘法原理，每次取，都有$n$种情况, $n^k$

case2:

每次取出后不放回去，

$$\begin{align*}n(n-1)(n-2)\text{...}(n-k)\tag{1}\end{align*}$$

case3:

不考虑排列，那就是组合。也就是说最终的$k$个球的排列数是$k!=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\text{...}2\cdot 1$

这样就得到

$$\begin{align*}\frac{n(n-1)(n-2)\text{...}(n-k)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\tag{2}\end{align*}$$

可以想想这个除号的意义。是用加法和乘法来理解，还是用减法来理解呢？

#二项式

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$$\begin{align*}(a+b)^n=(a+b)(a+b)\text{...}(a+b)\tag{3}\end{align*}$$

$n$个$(a+b)$里取$k$个$a$, 这$k$就是$k$个$a$相乘的次数.

#有限重复元素的排列

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$n$个元素的排列数为

$$\begin{align*}\frac{n!}{n_1!n_2!\text{...}n_k!}\tag{4}\end{align*}$$

把$n$个元素分成$k$组，每组的元素相同，(所以叫有限重复)，但是不同的组间的元素是不同的，这些组的元素的个数分别记为

$$\begin{align*}n_1,n_2,\text{...},n_k,\left(n_1+n_2+\text{...}+n_k=n\right)\end{align*}$$

##证明

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#多项式公式

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$$\begin{align*}\left(x_1+x_2+\text{...}+x_m\right)^n=\sum _{k_1+k_2+\text{...}+k_m=n} \left(\begin{array}{c} n  k_1,k_2,\text{...},k_m \end{array}\right)\prod _{1\leq t\leq m} x_t^{\text{kt}}\tag{6}\end{align*}$$

$$\begin{align*}\left(\begin{array}{c} n  k_1,k_2,\text{...},k_n \end{array}\right)=\frac{n!}{k_1!k_2!\text{...}k_m!}\tag{7}\end{align*}$$