求出最多可以选择多少条不相交的线段

问题一：

给n条线段，求出最多有多少条线段互不相交。

思路：

这是一个经典问题。具体做法是贪心，也可以使用dp。

贪心做法：按右端点排序，能选就选，不能就不选。因为如果不能选的话，它的加入一定会导致至少一条线段的退出，并且还使得当前线段集的最右端点右移了，一定不优。

dp做法：f[i]表示坐标到i最多选多少条，枚举以i为起点的线段进行转移即可，可能需要进行离散化。

 

问题二：

给n条线段，线段可以平移，只需要满足右端点不超过一个值即可，当然左端点不能小于0，问最多有多少条线段互不相交。

思路：

这道题我们真的争论了很久，最后给出了一个nlog的贪心做法。而我自己想出来的是一个n^2时空的很臃肿的dp，但原题数据时1e4，所以应该也是合法的。

先得到一些显而易见的推论：线段之间一定不能有空隙，因为如果有空隙一定可以将右面的向左移而不会更劣。如果按右端点递增为他们排序，那么最终的方案中线段编号一定是递增的，因为如果不是递增的，交换逆序的两条线段一定不会更劣。

贪心做法：按右端点排序，对当前的已选择的线段集维护一个返回长度最大值的堆，依次枚举每一条线段，如果直接加到当前线段集的末尾可以，那么就加进去，如果不可以，比较它和堆顶线段的长度，留下一个长度比较短的，扫一遍答案就出来了。这用到了上面的两个结论。

这是一种"可反悔的贪心"，值得学习。

dp做法：按右端点排序，f[i][j]表示到坐标i时，最后一条线段编号为j时最多选多少条，先考虑暴力n^3的方法，就是对于每个j枚举后面所有的线段进行转移，考虑优化，我们发现转移到f[j][k]的情况，事实上是f[i][1~k-1]转移的，所以我们只需要维护一个前缀的最大值就可以实现O1的转移。需要注意这种方法不能进行离散化，也就是如果坐标范围很大是无法使用的，因为我们没办法求出所有线段长度可以组合出的长度并将其离散化。

这种通过记录前缀最大值的方式优化一维dp的方法应该是具有普遍意义的，需要掌握。