HYGGE 高数上册导数

 

首先，我们要求记住一些定义及其结论：

　　1.设函数f(x)在x0处有n阶导数,且f’(x0)=f’’(x0)=...=f⁽ⁿ⁾(x0)=0,f⁽ⁿ⁺¹⁾(x0)≠0.证明：

　　　　(1)当n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当f(n)(x0)<0,f(x0)为极大值,当f(n)(x0)>0时,f(x0)为极小值；

　　　　(2)当n为奇数时,f(x)在x0处不取得极值(以上两问用带有佩亚若余项的泰勒展开式证明)

　　2.求高阶导数n的方法，可以拆项，拆成一些比较基础的n阶导数可以求出来的形式，像ln(x+1),e^x ,sin x ,cos x,x^m 等等 ，其实对于有些不可以拆成一些基础的项的时候要用到级数，此处还没有学完，等学完再讲。

　　3.导数在函数形态上的应用

　　重要定理：　　费马定理：设f(x)在x=x₀的某邻域U(x₀)内有点定义，f(x₀)是f(x)的一个极大值(极小值)，又设f'(x₀)存在，则f'(x0)=0. 使f'(x₀)=0的x=x₀称为f(x)的驻点。

　　　　　　　　　罗尔定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，又设f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0.

　　　　　　　　　拉格朗日中值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).

　　　　　　　　　　　　其实拉格朗日中值定理还有一个经常用到的变形，在定理条件下，设x₀,x是[a,b]上的任意两点，则至少存在一点ξ介于x₀与x之间，使f(x)=f(x₀)+f'(ξ)(x-x₀).

　　　　　　　　　柯西中值定理：设f(x)，g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，x∈(a,b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使.

　　　　　　　　　泰勒定理(非常重要且好用的定理)：有两种形式，第一种为成立条件弱一点的一种，常用于用于佩亚若展开式求极限，具体情况可见 »HYGGE 高数上册极限与微分    另外一种就是常用的拉格朗日泰勒展开式，定理陈诉如下：设f(x)在闭区间[a,b]有n阶连续的导数，在开区间(a.b)内有直到n+1阶导数，x₀∈[a,b], x∈[a,b] 是任意两点， 则至少存在一点ξ介于x₀与x之间,使　　　　　　　

　　　　　　　　　在这里提醒大家依据：一定要注意题目中给出的一些条件是否满足用以上三大微分中值定理，如果不满足的话，可以考虑用一下连续条件下的定理(以下定理也要非常注意使用条件).

　　　　　　　　　最常用的是：连续介值定理和连续中值定理,

　　　　　　　　　 连续函数介值定理：设f(x)在闭区间[a,b]连续，且在这区间端点取不同的函数值f(a)=A ,f(b)=B, 则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.

　　　　　　　　　 其中连续中值定理是连续介值定理的特例，也是非常常用的，希望大家一起掌握。随便提一下闭区间连续函数的定理，除了介值定理之外，最大最小存在定理有时也会用到。

 

　　　　　　　　　最后进行一下总结：微分中值定理存在的价值就是将原函数f(x)与其导数联系起来，一种与一阶导数联系起来的是前三个中值定理，泰勒公式是将原函数与任意阶导数联系在一起，遇见证明题的时候有两种题型，一种是前者，一种是后者，但是千万不要局限于一定是前者还是后者，因为当遇见较难的题目时，往往我要用到前后者，还有其他的一些定理。

　　　4.命中率特别高的一个结论：设函数f(x)在x=0处连续且lim_(x->0)   f(x)/x=A,则f(0)=0,f '(0)=0.如果不连续，只能得到前面的结论，后者得不到。

　　　5.设f(x)=x/(x^2-3x+1),则求f⁽ⁿ⁾(0)=________,   一看见可以因式分解立马分解，然后用基本级数的公式展开，φ⁽ⁿ⁾(x0)=n！a_n     。