HYGGE 概率论之大数定理与中心极限定理详解

最近是否觉得被大数定理与中心极限定理所搞晕！如果你的答案是"YES"，你很幸运，我将详细整理你的思绪！

1.首先，我们要明确大数定理和中心极限定理的中心思想是什么？

　　请回想我们一开始学习概率论时老师说：当样本空间足够大时，反应样本的频率可以看成总体的概率！大数定理将给出数学解释；

　　中心极限定理解决的问题是：也请回忆在学这里之前老师也说过：我们可以用泊松分布来简单替代成二项分布，为什么，怎么替代，替代条件是什么？这些问题都将在中心极限定理给你解释原因，

　　并且这个定理给我们展示了正态分布是概率论最重要的分布，没有之一！为什么呢？往下看。

2.进入正题之前，我们先要引入一个很重要的不等式，切比雪夫不等式，这里不详细讲解该不等式，只需知道该不等式可以估计概率。

3.详细解释：大数定理有三个，切大，辛大，伯大（看我这篇文章的应该都是知道全名的）。伯大其实是前两个的特例！

　　　　切大：

　　　　　　条件：X_n是相互独立分布的随机变量的序列，具有相同的期望和方差

　　　　　　结论：当n趋向于+∞，其lim P（|Χ˜-u|<ε）=1 ,Χ˜表示Xn的均值，即ΣXn/n。

　　　　辛大：（辛大的条件比切大的条件弱一点）

　　　　　　条件：X_n同分布，且期望存在

　　　　　　结论：当n趋向于+∞，其lim P（|Χ˜-u|<ε）=1 ,Χ˜表示Xn的均值，即ΣXn/n。

　　　　伯大：其实就是将二项分布这个特殊分布应用到切大和辛大，这里不再赘述。

　　　　大数定理最终结论：当n无限增加时，n个随机变量的算术平均值几乎变成了一个常数。也就是当样本空间足够大时，样本的均值接近于总体的均值！

　　　　大数定理的作用：一般只是理论性的基础知识，就像没有微分中值定理就没有微积分一样！考研或者其他考试一般不会太考。

　　　

　　　　中心极限定理有三个，林中，拉中，李中，但是李中不是很重要，所以这里不讲。

　　　　林中：

　　　　　　条件：X_i独立且同分布，其方差存在

　　　　　　结论：(ΣX_i-nu)/((√n)σ)近似可以用标准正态分布N(0,1）来替代，进一步转化，即：ΣX_i可以用N（nu,nσ²）近似替代，这里就是为什么正态分布最重要的一个分布。

　　　　拉中：其实就是将二项分布这个特殊分布应用到拉中，这里不再赘述。

　　　　中心极限定理的作用：可以用来求准确的概率。其中很重要的就是理解林中中的X_i是随机变量的序列，当我们做题时通常要寻找这个序列。考研也不会很考，但是很重要，因为这是基础。