FFT学习笔记
\(FFT\)学习笔记
因为已经有比我写的好的了，所以这里就不会重头讲，只讲一些自己需要用的而已。
\(FFT\)解决什么呢？解决两个多项式快速相乘的问题。
我们设第一个多项式为\(F(x)\)，第二个多项式为\(G(x)\).
多项式\(F(x)\)的项数为\(n\) ,多项式\(G(x)\)的项数为\(m\).
乘出来的多项式为\(W(x)\).项数为\((n+m-1)\).
入门基本:初中一年级学历
DFT
过程：把系数表达转换为点值表达
相信大家都学过了待定系数法啦
把一个多项式转换为点值表达应该不难
显而易见，把一个\(n\)次多项式转换为点值表达，需要\(n+1\)个坐标。
我们把这些\(F(x)\)坐标记为:\((x_0,y_0);(x_1,y_1);(x_2,y_2)……\)
我们把这些\(G(x)\)坐标记为:\((x_0,y^*_0);(x_1,y^*_1);(x_2,y^*_2)……\)
那么\(W(x)\)坐标就为:\((x_0,y_0*y^*_0);(x_1,y_1*y^*_1);(x_2,y_2*y^*_2)……\)
那么我们的问题就在于如何将\(F\)和\(G\)转换为点值表达。
求出\(F\)和\(G\)的点值表达，就可以快速算出\(W\)的点值表达了。
复数
在学习DFT之前，还要先学学这个——复数
虚数
定义:\(i^2=-1\)
实数和虚数的组合就是复数，记为\(a+bi\)
PS:\(i^2\)要化简为\(-1\)
复数的 模长 指它的长度（到原点的距离），辐角 指它与原点的连线，与 \(x\) 轴（逆时针）的夹角。如图，复数\(2+3i\) 的模长和辐角都已标出（引用longlongzhu123的博客）
代码定义复数
结构体存储：一个存实数部，一个存虚数部
struct Complex{
double r,i;
Complex():r(0),i(0){} //初始化
Complex(double R,double I) : r(R),i(I){} //同r=R,i=I,给一个虚数赋值
Complex(const Complex& c) : r(c.r),i(c.i){} //等同r=c.r,i=c.i
};
复数运算
我们设两个复数\(x,y\), \(x=a_0+b_0i\)，\(y=a_1+b_1i\) . 一个实数\(k\) .
加法
减法
乘法
运算的几何意义(非重要)
（引用longlongzhu123的博客）
加法
例子：\((2+3i)+(3+1i)=5+4i\)
意义：发现什么了吗？没有？看看那条虚线跟$ 2+3i$ 有什么关系？没错。虚线与 \(2+3i\)平行。\(2+3i\) 和 \(3+1i\)相加的结果可以看成在 \(3+1i\) 的端点处向上数$3 $格，向右数 \(2\) 格得到的点。或者说是两个复数所组成平行四边形的一条对角线。（理解一下这句话）
乘法
复数乘法也有几何意义。一句话：模长相乘，辐角相加。
代码实现运算
重载看不到不要紧，直接看\(return\)就ok了。（记住返回的也是复数，用结构体存）
inline Complex operator+(const Complex&a,const Complex&b){return Complex(a.r+b.r,a.i+b.i);} //复数+
inline Complex operator-(const Complex&a,const Complex&b){return Complex(a.r-b.r,a.i-b.i);} //复数-
inline Complex operator*(const Complex&a,const Complex&b){ //复数*
return Complex(a.r*b.r - a.i*b.i , a.r*b.i + b.r*a.i );
}
单位根
单位圆:在复平面上一个模长为\(1\)的圆 ,长下面这个样子。
n次单位根：把单位圆平分成\(n\)份，取其中第一份（从x轴的正半轴开始逆时针平分）
例子：\(3\)次单位根，长下面那样，\(B\)点即为\(3\)次单位根。
我们把n次单位根记为：\(\omega_n\)或\(\omega_n^1\)
那剩下的\(n-1\)个点（指上面的\(A\)和\(C\)点）怎么表示呢？
我们发现，\(B\)点是从\(x\)轴正半轴开始逆时针数的第一个点(\(A\)点是第\(0\)个，记作\(\omega^0_n\))，所以它记作\(\omega^1_n\)，那么\(C\)点是第二个点，它记作\(\omega^2_n\)。同理，第\(k\)个点就叫\(\omega^k_n\)，另外\(\omega^k_n=(\omega_n)^k\)。
单位根的性质
（引用至command_block的blog）
单位根的世界，就是一个单位圆。
-1. $ \forall x:\omega_n0=1$，(翻译成人话：对于任意的n，$\omega_n0=1$)
0.\(\omega^k_n=(\omega_n)^k\)
1.\(\omega_n^j*\omega_n^k=\omega_n^{j+k}\)
2.\(\omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k\)
3.当\(n\)为偶数时，\(\omega_n^{(k+n/2)}=-\omega_n^k\)
4.\(\sum_{i=1}^{n} \omega_n^i=0\)
5.\(\omega_n^1=(cos(\frac{2\pi}{n}),sin(\frac{2\pi}{n}))\) (注：左边为实数部，右边为虚数部)
6.\(\omega_n^k=\omega_n^{k\%n}\)
