FFT学习笔记

$FFT$学习笔记

目录

• $FFT$学习笔记
• DFT
• 复数
  • • • 虚数
      • 代码定义复数
  • 复数运算
    • 加法
    • 减法
    • 乘法
    • 运算的几何意义(非重要)
      • 加法
      • 乘法
    • 代码实现运算
• 单位根
  • 单位根的性质

因为已经有比我写的好的了，所以这里就不会重头讲，只讲一些自己需要用的而已。

YYC大佬写的

$FFT$解决什么呢？解决两个多项式快速相乘的问题。

我们设第一个多项式为$F(x)$，第二个多项式为$G(x)$.

多项式$F(x)$的项数为$n$ ,多项式$G(x)$的项数为$m$.

乘出来的多项式为$W(x)$.项数为$(n+m-1)$.

入门基本:初中一年级学历

DFT

过程：把系数表达转换为点值表达

相信大家都学过了待定系数法啦

把一个多项式转换为点值表达应该不难

显而易见，把一个$n$次多项式转换为点值表达，需要$n+1$个坐标。

我们把这些$F(x)$坐标记为:$(x_0,y_0);(x_1,y_1);(x_2,y_2)……$

我们把这些$G(x)$坐标记为:$(x_0,y^*_0);(x_1,y^*_1);(x_2,y^*_2)……$

那么$W(x)$坐标就为:$(x_0,y_0*y^*_0);(x_1,y_1*y^*_1);(x_2,y_2*y^*_2)……$

那么我们的问题就在于如何将$F$和$G$转换为点值表达。

求出$F$和$G$的点值表达，就可以快速算出$W$的点值表达了。

复数

在学习DFT之前，还要先学学这个——复数

虚数

定义:$i^2=-1$

实数和虚数的组合就是复数，记为$a+bi$

PS:$i^2$要化简为$-1$

复数的 模长 指它的长度（到原点的距离），辐角 指它与原点的连线，与 $x$ 轴（逆时针）的夹角。如图，复数$2+3i$ 的模长和辐角都已标出（引用longlongzhu123的博客）

代码定义复数

结构体存储：一个存实数部，一个存虚数部

struct Complex{
	double r,i;
	Complex():r(0),i(0){}						//初始化
	Complex(double R,double I) : r(R),i(I){}	//同r=R,i=I,给一个虚数赋值
	Complex(const Complex& c) : r(c.r),i(c.i){}	//等同r=c.r,i=c.i
};

复数运算

我们设两个复数$x,y$, $x=a_0+b_0i$，$y=a_1+b_1i$ . 一个实数$k$ .

加法

$$x+y=(a_0+b_0i)+(a_1+b_1i)=(a_0+a_1)+(b_0+b_1)i$$

减法

$$x-y=(a_0+b_0i)-(a_1+b_1i)=(a_0-a_1)+(b_0-b_1)i$$

乘法

$$x*k=(a_0+b_0i)*k=a_0k+b_0ki$$

$$x*y=(a_0+b_0i)*(a_1+b_1i)=a_0a_1+a_0b_1i+a_1b_0i-b_0b_1$$

$$x*y=(a_0a_1-b_0b_1)+(a_0b_1+a_1b_0)i$$

运算的几何意义(非重要)

（引用longlongzhu123的博客）

加法

例子：$(2+3i)+(3+1i)=5+4i$

意义：发现什么了吗？没有？看看那条虚线跟$2+3i$ 有什么关系？没错。虚线与 $2+3i$平行。$2+3i$ 和 $3+1i$相加的结果可以看成在 $3+1i$ 的端点处向上数$3$格，向右数 $2$ 格得到的点。或者说是两个复数所组成平行四边形的一条对角线。（理解一下这句话）

乘法

复数乘法也有几何意义。一句话：模长相乘，辐角相加。

代码实现运算

重载看不到不要紧，直接看$return$就ok了。（记住返回的也是复数，用结构体存）

inline Complex operator+(const Complex&a,const Complex&b){return Complex(a.r+b.r,a.i+b.i);}	//复数+
inline Complex operator-(const Complex&a,const Complex&b){return   Complex(a.r-b.r,a.i-b.i);} //复数-
inline Complex operator*(const Complex&a,const Complex&b){			//复数*
    return Complex(a.r*b.r - a.i*b.i , a.r*b.i + b.r*a.i );
}

单位根

单位圆:在复平面上一个模长为$1$的圆 ,长下面这个样子。

n次单位根：把单位圆平分成$n$份，取其中第一份（从x轴的正半轴开始逆时针平分）

例子：$3$次单位根，长下面那样，$B$点即为$3$次单位根。

我们把n次单位根记为：$\omega_n$或$\omega_n^1$

那剩下的$n-1$个点（指上面的$A$和$C$点）怎么表示呢？

我们发现，$B$点是从$x$轴正半轴开始逆时针数的第一个点($A$点是第$0$个，记作$\omega^0_n$)，所以它记作$\omega^1_n$，那么$C$点是第二个点，它记作$\omega^2_n$。同理，第$k$个点就叫$\omega^k_n$，另外$\omega^k_n=(\omega_n)^k$。

单位根的性质

（引用至command_block的blog）

单位根的世界，就是一个单位圆。

-1. $ \forall x:\omega_n^{0=1$，(翻译成人话：对于任意的n，$\omega_n}0=1$)

0.$\omega^k_n=(\omega_n)^k$

1.$\omega_n^j*\omega_n^k=\omega_n^{j+k}$

2.$\omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k$

3.当$n$为偶数时，$\omega_n^{(k+n/2)}=-\omega_n^k$

4.$\sum_{i=1}^{n} \omega_n^i=0$

5.$\omega_n^1=(cos(\frac{2\pi}{n}),sin(\frac{2\pi}{n}))$ (注：左边为实数部，右边为虚数部)

6.$\omega_n^k=\omega_n^{k\%n}$

$$F(\omega^k_n )=Fl(\omega^k_{n/2})+\omega^k_nFR(\omega^k_{n/2})$$

$$F(\omega^{k+n/2}_n)=FL(\omega^k_{n/2}-\omega^k_nFR(\omega^k_{n/2}))$$