AC自动机讲解超详细

begin：2019/5/2

update 2020/6/12 更新了LaTeX（咕了好久

感谢大家支持！

AC自动机详细讲解

AC自动机真是个好东西！之前学$KMP$被$Next$指针搞晕了，所以咕了许久都不敢开AC自动机，近期学完之后，发现AC自动机并不是很难，特别是对于$KMP$​，个人感觉AC自动机比$KMP$要好理解一些，可能是因为我对树上的东西比较敏感（实际是因为我到现在都不会$KMP$）。

很多人都说AC自动机是在$Trie$树上作$KMP$，我不否认这一种观点，因为这确实是这样，不过对于刚开始学AC自动机的同学们就一些误导性的理解（至少对我是这样的）。$KMP$是建立在一个字符串上的，现在把$KMP$搬到了树上，不是很麻烦吗？实际上AC自动机只是有$KMP$的一种思想，实际上跟一个字符串的$KMP$有着很大的不同。

所以看这篇blog，请放下$KMP$，理解好$Trie$，再来学习。

前置技能

1.$Trie$(很重要哦)

2.$KMP$的思想（懂思想就可以了，不需要很熟练）

问题描述

给定$n$个模式串和$1$个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。

注意：是出现过，就是出现多次只算一次。

默认这里每一个人都已经会了$Trie$。

我们将$n$个模式串建成一颗$Trie$树，建树的方式和建$Trie$完全一样。

假如我们现在有文本串$ABCDBC$。

我们用文本串在$Trie$上匹配，刚开始会经过$2、3、4$号点，发现到$4$，成功地匹配了一个模式串，然后就不能再继续匹配了，这时我们还要重新继续从根开始匹配吗？

不，这样的效率太慢了。这时我们就要借用$KMP$的思想，从$Trie$上的某个点继续开始匹配。

明显在这颗$Trie$上，我们可以继续从$7$号点开始匹配，然后匹配到$8$。

那么我们怎么确定从那个点开始匹配呢？我们称$i$匹配失败后继续从$j$开始匹配，$j$是$i$的$Fail$（失配指针）。

构建Fail指针

$Fail$的含义

$Fail$指针的实质含义是什么呢？

如果一个点$i$的$Fail$指针指向$j$。那么$root$到$j$的字符串是$root$到$i$的字符串的一个后缀。

举个例子：（例子来自上面的图

i:4     j:7
root到i的字符串是“ABC”
root到j的字符串是“BC”
“BC”是“ABC”的一个后缀
所以i的Fail指针指向j

同时我们发现，“$C$”也是“$ABC$”的一个后缀。

所以$Fail$指针指的$j$的深度要尽量大。

重申一下$Fail$指针的含义：((最长的(当前字符串的后缀))在$Trie$上可以查找到)的末尾编号。

感觉读起来挺绕口的蛤。感性理解一下就好了，没什么卵用的。知道$Fail$有什么用就行了。

求$Fail$

首先我们可以确定，每一个点$i$的$Fail$指针指向的点的深度一定是比$i$小的。（Fail指的是后缀啊）

第一层的$Fail$一定指的是$root$。（比深度$1$还浅的只有$root$了）

设点$i$的父亲$fa$的$Fail$指针指的是$fafail$，那么如果$fafail$有和$i$值相同的儿子$j$，那么$i$的$Fail$就指向$j$。这里可能比较难理解一点，建议画图理解，不过等会转换成代码就很好理解了。

由于我们在处理$i$的情况必须要先处理好$fa$的情况，所以求$Fail$我们使用$BFS$来实现。

实现的一些细节：

• 1、刚开始我们不是要初始化第一层的$fail$指针为$root$，其实我们可以建一个虚节点$0$号节点，将$0$的所有儿子指向$root$（$root$编号为$1$，记得初始化)，然后$root$的$fail$指向$0$就OK了。效果是一样的。

• 2、如果不存在一个节点$i$，那么我们可以将那个节点设为$fafail$的((值和$i$相同)的儿子)。保证存在性，就算是$0$也可以成功返回到根，因为$0$的所有儿子都是根。

• 3、无论$fafail$存不存在和$i$值相同的儿子$j$，我们都可以将$i$的$fail$指向$j$。因为在处理$i$的时候$j$已经处理好了，如果出现这种情况，$j$的值是第$2$种情况，也是有实际值的，所以没有问题。

• 4、实现时不记父亲，我们直接让父亲更新儿子

void getFail(){
	for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;			//初始化0的所有儿子都是1
	q.push(1);trie[1].fail=0;				//将根压入队列
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++){				//遍历所有儿子
			int v=trie[u].son[i];			//处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
			int Fail=trie[u].fail;			//就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
			if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}	//不存在该节点，第二种情况
			trie[v].fail=trie[Fail].son[i];	//第三种情况，直接指就可以了
			q.push(v);						//存在实节点才压入队列
		}
	}
}

查询

求出了$Fail$指针，查询就变得十分简单了。

为了避免重复计算，我们每经过一个点就打个标记为$-1$，下一次经过就不重复计算了。

同时，如果一个字符串匹配成功，那么他的$Fail$也肯定可以匹配成功（后缀嘛），于是我们就把$Fail$再统计答案，同样，$Fail$的$Fail$也可以匹配成功，以此类推……经过的点累加$flag$，标记为$-1$。

最后主要还是和$Trie$的查询是一样的。

int query(char* s){
	int u=1,ans=0,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++){
		int v=s[i]-'a';
		int k=trie[u].son[v];		//跳Fail
		while(k>1&&trie[k].flag!=-1){	//经过就不统计了
			ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1;	//累加上这个位置的模式串个数，标记 已 经过
			k=trie[k].fail;			//继续跳Fail
		}
		u=trie[u].son[v];			//到儿子那,存在性看上面的第二种情况
	}
	return ans;
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
struct kkk{
	int son[26],flag,fail;
}trie[maxn];
int n,cnt;
char s[1000001];
queue<int >q;
void insert(char* s){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++){
		int v=s[i]-'a';
		if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
		u=trie[u].son[v];
	}
	trie[u].flag++;
}
void getFail(){
	for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;			//初始化0的所有儿子都是1
	q.push(1);trie[1].fail=0;				//将根压入队列
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++){				//遍历所有儿子
			int v=trie[u].son[i];			//处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
			int Fail=trie[u].fail;			//就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
			if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}	//不存在该节点，第二种情况
			trie[v].fail=trie[Fail].son[i];	//第三种情况，直接指就可以了
			q.push(v);						//存在实节点才压入队列
		}
	}
}
int query(char* s){
	int u=1,ans=0,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++){
		int v=s[i]-'a';
		int k=trie[u].son[v];		//跳Fail
		while(k>1&&trie[k].flag!=-1){	//经过就不统计了
			ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1;	//累加上这个位置的模式串个数，标记已经过
			k=trie[k].fail;			//继续跳Fail
		}
		u=trie[u].son[v];			//到下一个儿子
	}
	return ans;
}
int main(){
	cnt=1;            //代码实现细节，编号从1开始
        scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s);
		insert(s);
	}
	getFail();
	scanf("%s",s);
	printf("%d\n",query(s));
	return 0;
}

updata：2019/5/7 AC自动机的应用

AC自动机的一些应用

先拿P3796 【模板】AC自动机（加强版）来说吧。

无疑，作为模板2，这道题的解法也是十分的经典。

我们先来分析一下题目：输入和模板1一样

1、求出现次数最多的次数

2、求出现次数最多的模式串

明显，我们如果统计出每一个模式串在文本串出现的次数，那么这道题就变得十分简单了，那么问题就变成了如何统计每个模式串出现的次数。

做法：AC自动机

首先题目统计的是出现次数最多的字符串，所以有重复的字符串是没有关系的。（因为后面的会覆盖前面的，统计的答案也是一样的）

那么我们就将标记模式串的$flag$设为当前是第几个模式串。就是下面插入时的变化：

trie[u].flag++;
变为
trie[u].flag=num; //num表示该字符串是第num个输入的

求$Fail$指针没有变化，原先怎么求就怎么求。

查询：我们开一个数组$vis$，表示第$i$个字符串出现的次数。

因为是重复计算，所以不能标记为$-1$了。

我们每经过一个点，如果有模式串标记，就将$vis[模式串标记]++$。然后继续跳fail，原因上面说过了。

这样我们就可以将每个模式串的出现次数统计出来。剩下的大家应该都会QwQ！

总代码

//AC自动机加强版
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
char s[151][maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[maxn],ans;
struct kkk{
	int son[26],fail,flag;
	void clear(){memset(son,0,sizeof(son));fail=flag=0;}
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++){
		int v=s[i]-'a';
		if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
		u=trie[u].son[v];
	}
	trie[u].flag=num;			//变化1：标记为第num个出现的字符串
}
void getFail(){
	for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
	q.push(1);trie[1].fail=0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		int Fail=trie[u].fail;
		for(int i=0;i<26;i++){
			int v=trie[u].son[i];
			if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
			trie[v].fail=trie[Fail].son[i];
			q.push(v);
		}
	}
}
void query(char* s){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++){
		int v=s[i]-'a';
		int k=trie[u].son[v];
		while(k>1){
			if(trie[k].flag)vis[trie[k].flag]++;	//如果有模式串标记，更新出现次数
			k=trie[k].fail;
		}
		u=trie[u].son[v];
	}
}
void clear(){
	for(int i=0;i<=cnt;i++)trie[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
	cnt=1;ans=0;
}
int main(){
	while(1){
		scanf("%d",&n);if(!n)break;
		clear();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%s",s[i]);
			insert(s[i],i);
		}
		scanf("%s",T);
		getFail();
		query(T);
		for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(vis[i],ans);	//最后统计答案
		printf("%d\n",ans);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(vis[i]==ans)
		printf("%s\n",s[i]);
	}
}

update:2019/5/9

AC自动机的优化

topo建图优化

让我们了分析一下刚才那个模板2的时间复杂度，算了不分析了，直接告诉你吧，这样暴力去跳$fail$的最坏时间复杂度是$O(模式串长度 · 文本串长度)$。

为什么？因为对于每一次跳$fail$我们都只使深度减$1$，那样深度是多少，每一次跳的时间复杂度就是多少。那么还要乘上文本串长度，就几乎是 $O(模式串长度 · 文本串长度)$的了。

那么模板1的时间复杂度为什么就只有$O(模式串总长)$。因为每一个$Trie$上的点都只会经过一次（打了标记），但模板2每一个点就不止经过一次了（重复算，不打标记），所以时间复杂度就爆炸了。

那么我们可不可以让模板2的$Trie$上每个点只经过一次呢？

嗯~，还真可以！

题目看这里：P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）

做法：拓扑排序

让我们把$Trie$上的$fail$都想象成一条条有向边，那么我们如果在一个点对那个点进行一些操作，那么沿着这个点连出去的点也会进行操作（就是跳$fail$），所以我们才要暴力跳$fail$去更新之后的点。

我们还是用上面的图，举个例子解释一下我刚才的意思。

我们先找到了编号$4$这个点，编号$4$的$fail$连向编号$7$这个点，编号$7$的$fail$连向编号$9$这个点。那么我们要更新编号$4$这个点的值，同时也要更新编号$7$和编号$9$，这就是暴力跳$fail$的过程。

我们下一次找到编号$7$这个点，还要再次更新编号$9$，所以时间复杂度就在这里被浪费了。

那么我们可不可以在找到的点打一个标记，最后再一次性将标记全部上传 来 更新其他点的$ans$。例如我们找到编号$4$，在编号$4$这个点打一个$ans$标记为$1$，下一次找到了编号$7$，又在编号$7$这个点打一个$ans$标记为$1$，那么最后，我们直接从编号$4$开始跳$fail$，然后将标记$ans$上传，((点i的fail)的ans)加上(点i的ans)，最后使编号$4$的$ans$为$1$，编号$7$的$ans$为$2$，编号$9$的$ans$为$2$，这样的答案和暴力跳$fail$是一样的，并且每一个点只经过了一次。

最后我们将有$flag$标记的$ans$传到$vis$数组里，就求出了答案。

em……，建议先消化一下。

那么现在问题来了，怎么确定更新顺序呢？明显我们打了标记后肯定是从深度大的点开始更新上去的。

怎么实现呢？拓扑排序！

我们使每一个点向它的$fail$指针连一条边，明显，每一个点的出度为$1$（$fail$只有一个），入度可能很多，所以我们就不需要像拓扑排序那样先建个图了，直接往$fail$指针跳就可以了。

最后我们根据$fail$指针建好图后（想象一下，程序里不用实现），一定是一个$DAG$，具体原因不解释（很简单的），那么我们就直接在上面跑拓扑排序，然后更新$ans$就可以了。

代码实现：

首先是$getfail$这里，记得将$fail$的入度$in$更新。

trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++;  	//记得加上入度

然后是$query$，不用暴力跳$fail$了，直接打上标记就行了，很简单吧

void query(char* s){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;++i)
	u=trie[u].son[s[i]-'a'],trie[u].ans++;							//直接打上标记
}

最后是拓扑，解释都在注释里了OwO!

void topu(){
	for(int i=1;i<=cnt;++i)
	if(in[i]==0)q.push(i);				//将入度为0的点全部压入队列里
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans;	//如果有flag标记就更新vis数组
		int v=trie[u].fail;in[v]--;		//将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
		trie[v].ans+=trie[u].ans;		//更新fail的ans值
		if(in[v]==0)q.push(v);			//拓扑排序常规操作
	}
}

应该还是很好理解的吧，实现起来也没有多难嘛！

对了还有重复单词的问题，和下面讲的"P3966[TJOI2013]单词"的解决方法一样的，不讲了吧。

习题讲解

基础题：P3966 [TJOI2013]单词

这道题和上面那道题没有什么不同，文本串就是将模式串用神奇的字符（例如"♂"）隔起来的串。

但这道题有相同字符串要统计，所以我们用一个$Map$数组存这个字符串指的是$Trie$中的那个位置，最后把$vis[Map[i]]$输出就OK了。

下面是P5357【模板】AC自动机（二次加强版）的代码（套娃？大雾），剩下的大家怎么改应该还是知道的吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000001
using namespace std;
char s[maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[200051],ans,in[maxn],Map[maxn];
struct kkk{
	int son[26],fail,flag,ans;
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;++i){
		int v=s[i]-'a';
		if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
		u=trie[u].son[v];
	}
	if(!trie[u].flag)trie[u].flag=num;
	Map[num]=trie[u].flag;
}
void getFail(){
	for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		int Fail=trie[u].fail;
		for(int i=0;i<26;++i){
			int v=trie[u].son[i];
			if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
			trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++;
			q.push(v);
		}
	}
}
void topu(){
	for(int i=1;i<=cnt;++i)
	if(in[i]==0)q.push(i);				//将入度为0的点全部压入队列里
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans;	//如果有flag标记就更新vis数组
		int v=trie[u].fail;in[v]--;		//将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
		trie[v].ans+=trie[u].ans;		//更新fail的ans值
		if(in[v]==0)q.push(v);			//拓扑排序常规操作
	}
}
void query(char* s){
	int u=1,len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;++i)
	u=trie[u].son[s[i]-'a'],trie[u].ans++;
}
int main(){
	scanf("%d",&n); cnt=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",s);
		insert(s,i);
	}getFail();scanf("%s",T);
	query(T);topu();
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",vis[Map[i]]);
}

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To be continue……