动态规划——区间
Wikioi 1048 石子归并
有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。
第一行一个整数n（n<=100）
第二行n个整数w1,w2...wn (wi <= 100)
一个整数表示最小合并代价
4
4 1 1 4
18
思路：
以区间长度划分阶段
ps.如果是任意两堆直接贪心，越是先合并的计算次数就越多
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 const int maxn = 200,maxnum = 10000000; 9 int n,j,value[maxn],sum[maxn],dp[maxn][maxn]; 10 int main(){ 11 cin>>n; 12 for(int i = 1;i <= n;i++){ 13 cin>>value[i]; 14 sum[i]= sum[i-1] + value[i]; 15 } 16 for(int l = 2;l <= n;l++){ 17 for(int i = 1;i <= n - l + 1;i++){ 18 j = i + l - 1; 19 dp[i][j] = maxnum; 20 for(int k = i;k < j;k++) 21 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]); 22 } 23 } 24 cout<<dp[1][n]; 25 return 0; 26 }
Wikioi 3002 石子归并3
有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。
第一行一个整数n（n<=3000）
第二行n个整数w1,w2...wn (wi <= 3000)
一个整数表示最小合并代价
4
4 1 1 4
18
数据范围相比“石子归并” 扩大了
思路：
四边形不等式，记录区间划分点K
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 const int maxn = 4000,maxnum = 100000000; 9 int n,j,value[maxn],sum[maxn],dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn]; 10 int main(){ 11 cin>>n; 12 for(int i = 1;i <= n;i++){ 13 cin>>value[i]; 14 sum[i]= sum[i-1] + value[i]; 15 a[i][i] = i; 16 } 17 for(int l = 2;l <= n;l++){ 18 for(int i = 1;i <= n - l + 1;i++){ 19 j = i + l - 1; 20 dp[i][j] = maxnum; 21 for(int k = a[i][j-1];k <= a[i+1][j];k++){ 22 if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]){ 23 dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]; 24 a[i][j] = k; 25 } 26 27 } 28 29 } 30 } 31 cout<<dp[1][n]; 32 return 0; 33 }
Wikioi 2102 石子归并2
在一个园形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.
数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.
输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.
4
4 4 5 9
43
54
经典的区间动态规划。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 const int maxn = 500,maxnum = 100000000; 9 int n,sum[maxn],value[maxn],dp[maxn][maxn],dps[maxn][maxn]; 10 int main(){ 11 cin>>n; 12 for(int i = 1;i <= n;i++){ 13 cin>>value[i]; 14 value[i+n] = value[i]; 15 sum[i] = sum[i-1] + value[i]; 16 17 } 18 for(int i = 1;i <= n;i++) sum[i+n] = sum[i] + sum[n]; 19 for(int j = 2;j <= n + n;j++){ 20 for(int i = j - 1;i >= 1 && j - i + 1 <= n;i--){ 21 dp[i][j] = maxnum; 22 for(int k = i;k < j;k++){ 23 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]); 24 } 25 for(int k = i;k < j;k++){ 26 dps[i][j] = max(dps[i][j],dps[i][k] + dps[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]); 27 } 28 } 29 } 30 int ans = maxnum; 31 for(int i = 1;i <= n;i++) ans = min(ans,dp[i][i+n-1]); 32 cout<<ans<<endl; 33 ans = 0; 34 for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans,dps[i][i+n-1]); 35 cout<<ans; 36 return 0; 37 }
我们用以下规则定义一个合法的括号序列：
（1）空序列是合法的
（2）假如S是一个合法的序列，则 (S) 和[S]都是合法的
（3）假如A 和 B 都是合法的，那么AB和BA也是合法的
例如以下是合法的括号序列：
(), [], (()), ([]), ()[], ()[()]
以下是不合法括号序列的：
(, [, ], )(, ([]), ([()
现在给定一些由'(', ')', '[', ，']'构成的序列 ，请添加尽量少的括号，得到一个合法的括号序列。
输入包括号序列S。含最多100个字符（四种字符： '(', ')', '[' and ']') ，都放在一行，中间没有其他多余字符。
使括号序列S成为合法序列需要添加最少的括号数量。
([()
2
【样例说明】 最少添加2个括号可以得到合法的序列：()[()]或([()]) 【数据范围】 S的长度<=100 (最多100个字符)。
思路：
长度划分，状态左右端点，dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 1(if i matches to j)
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 const int maxn = 200,maxnum = 20000000; 9 int n,c,value[maxn],dp[maxn][maxn],sign,j,q; 10 char cmd; 11 string s; 12 int main(){ 13 n = c = 0; 14 getline(cin,s); 15 q = s.length(); 16 for(int i = 1;i <= q;i++){ 17 cmd = s[i-1]; 18 if(cmd == '(') {value[i-c] = 1;n++;} 19 if(cmd == '[') {value[i-c] = 2;n++;} 20 if(cmd == ']') {value[i-c] = 3;n++;} 21 if(cmd == ')') {value[i-c] = 4;n++;} 22 } 23 memset(dp,0,sizeof(dp)); 24 for(int i = 1;i <= n;i++) dp[i][i] = 1; 25 for(int l = 2;l <= n;l++){ 26 for(int i = 1;i <= n -l + 1;i++){ 27 j = i + l - 1; 28 dp[i][j] = maxnum; 29 if(value[i] + value[j] == 5 && value[i] < value[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1]; 30 for(int k = i;k < j;k++){ 31 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j]); 32 } 33 34 } 35 } 36 cout<<dp[1][n]; 37 return 0; 38 }
Wikioi 1154 能量项链
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
4
2 3 5 10
710
注意保存方式
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 const int maxn = 500,maxnum = 220000000; 9 int n,sum[maxn],value[maxn],dp[maxn][maxn]; 10 int main(){ 11 cin>>n; 12 for(int i = 1;i <= n;i++){ 13 cin>>value[i]; 14 value[i+n] = value[i]; 15 16 } 17 for(int j = 2;j <= n + n;j++){ 18 for(int i = j - 1;i >= 1 && j - i <= n;i--){ 19 for(int k = i;k < j;k++){ 20 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + value[i] * value[j+1] * value[k+1]); 21 } 22 } 23 } 24 int ans = 0; 25 for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans,dp[i][i+n-1]); 26 cout<<ans; 27 return 0; 28 }
