递归与递推
递推 递归
递归：从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。
递推：从已知道的若干项出发，利用递推关系依次推算出后面的未知项的方法，我们称为递推算法。
递推与递归不同：递归是从未知到已知 逐步接近解决问题的过程，而递推从已知到未知。
递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法。通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。
递推的关系式可以暴枚找规律，也可以化繁为简，例如铺砖问题，最后一列砖铺与不铺，以及最后两列砖铺与不铺的情况相加即可求出关系式。
而关于递归，就是函数中再次调取函数，从而使困难的问题化为“1+1”类型简单的问题，得出结果再还原，操作过程类似于“U”型。递归的重点是找到递归关系和递归出口。
……（概念太多，直接摆题）
经典例题
统计奇数和偶数个3
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
标准输入输出
题目类型：传统
评测方式：文本比较
题目描述
在所有的N位正整数中，有多少个数中有偶数个数字3？又有多少个数有奇数个3？由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。
输入格式
输入一个数N(1<=N<=1000)，输入形式为文件输入，以读到0或文件末尾结束。
输出格式
对于每一个N位正整数，输出有多少偶数个3以及多少奇数个3，中间用空格隔开。
样例
样例输入
2
0
样例输出
73 17
数据范围与提示
分别找出奇数偶数的递推式
样例说明：
在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73个
对于一位数，除3外，其他全为含有偶数个三（数组元素初始化），紧接着，对于两位数，13，23，30~39（除33外）【这里有9个数，也可以进行思考】，43，53，63，73，83，93含有奇数个三，
再看三位数（差不多就可以找到规律……）。
声明：a数组存储含奇数个三的个数，b数组用于存储偶数
i的数值 1 2 3 ……
a[i] 1 17 674 ……
b[i] 8 73 226 ……
So,a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345,b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int n,a[10005],b[10005];
a[1]=1,b[1]=8;
for(int i=2;i<=1001;i++){
a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345;
b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;
}
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
if(n==0)return 0;
printf("%d %d\n",b[n],a[n]);
}
return 0;
}
Hanoi塔
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
标准输入输出
题目类型：传统
评测方式：文本比较
题目描述
问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图所示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：
规则：
(1)、一次只能移一个圆盘；
(2)、圆盘只能在三个柱上存放；
(3)、在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？
输入格式
一个数n（1≤n≤63）
输出格式
一个数，总计需要移动多少个盘次
样例
样例输入
3
样例输出
7
一道十分经典的游戏，其实也可以直接找规律……，在数学上方法数是2^n-1，这是递推。也可用递归来解决，其实，整体思想即是将最后一个头上的n-1个盘子移开，把其放在C的最上面
（即是上一次操作圆盘的头顶），再对下一个圆盘进行该操作，直至n个圆盘全部归位，递归方法暂时不呈现……最后，开long long，int一般会炸，除非题目要求边求边模。
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
long long int n,sum=1;
scanf("%lld",&n);
for(long long int i=1;i<=n;i++){
sum*=2;
}
printf("%lld",sum-1);
return 0;
}
凸n边形的不同划分方式
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
标准输入输出
题目类型：传统
评测方式：文本比较
题目描述
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。
最初，给卡塔兰数建立的数学模型是：一个凸n边形，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表示，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(如图)，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。
输入格式
一个正整数n，代表凸n边形的边数 (2≤n≤37)
输出格式
一个正整数，凸n边形划分成若干三角形的不同划分方式
样例
样例1输入
4
样例1输出
2
样例2输入
5
样例2输出
5
画图！！！
设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[3]：
h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)(n≥2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
h(n+1)=h(n)*(4*n+2)/(n+2)
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1)(n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
用循环嵌套模拟求和符号
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int n;
long long a[10005];
scanf("%d",&n);
a[1]=1,a[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=2;j<=i-1;j++){
a[i]+=a[j]*a[i-j+1];
}
}
a[2]=0;
printf("%lld",a[n]);
return 0;
}
最后将a[2]赋值为0是关键，因为很有可能会有这组数据（哪有两边形？？？）
斐波那契数列
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
标准输入输出
题目类型：传统
评测方式：文本比较
题目描述
斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，...，从第三项起，每一项都是紧挨着的前两项的和。写出计算斐波那契数列的任意一个数据项递归程序。
输入格式
所求的项数。
输出格式
数据项的值。
样例
样例输入
10
样例输出
34
好吧，没啥可说，规则也有，家喻户晓，直接上代码。递推没难度，主要考察对递归的运用。
法一 递推
#include<cstdio>
int a[50];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
a[1]=1;
a[2]=1;
for(int i=3;i<=46;i++){
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
}
printf("%d",a[n]);
return 0;
}
法二 递归
#include<cstdio>
int fbnq(int n){
if(n<=1)return n;
return fbnq(n-1)+fbnq(n-2);
}
int main(){
int a;
scanf("%d",&a);
printf("%d",fbnq(a-1));
return 0;
}
2的幂次方表示
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
标准输入输出
题目类型：传统
评测方式：文本比较
题目描述
任何一个正整数都可以用2的幂次方表示。例如：
137=27+23+20
同时约定方次用括号来表示，即ab可表示为a(b)。由此可知，137可表示为：
2(7)+2(3)+2(0)
进一步：7=22+2+20（21用2表示）
3=2+20
所以最后137可表示为：
2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)
又如：1315=210+28+25+2+1
所以1315最后可表示为：
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)
输入格式
一个正整数n（n≤20000）。
输出格式
一行，符合约定的n的0，2表示（在表示中不能有空格）。
样例
样例输入
137
样例输出
2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)
逐步递归分解拆分直至待拆分数为0或1，几个小细节需要处理
1.x==0时，输出2(0)，而不是2；
2.x==1时，直接输出2；
3.else 先输入前括号，拆完后再输出后括号
4.如果当前n不为0，可已经无法拆分，输出加号
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void f(int n){
if(n==0)return;
int sum=1,x=0;
while(sum*2<=n){
sum*=2,x++;
}
if(x==0)cout<<"2(0)";
else if(x==1)cout<<"2";
else{
cout<<"2(";
f(x);
cout<<")";
}
n-=sum;
if(n!=0){
cout<<"+";
f(n);
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
f(n);
return 0;
}
