NOI2021 题解
D1T1
没啥好说的。就是树剖后重儿子的轻重是真的，轻儿子的轻重需要讨论。
线段树维护每个点成为重儿子的时刻和每个点将所有儿子都变成轻儿子的时刻。
询问时往上跳，轻重链切换时讨论一下即可。时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\).
D1T2
先考虑 \(k=2\) 怎么做，记 \(A\) 为邻接矩阵，问题相当于：
\[\sum_{p \text{是} {1,2,\cdots,n} \text{的排列}} (-1)^{\sigma(p)}\prod_{i=1}^n A_{i,p_i}
\]
其中 \(\sigma(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对数，而这个式子就是 \(det(A)\) 的定义式。
再考虑 \(n_1=n_2=\cdots=n_k\)，任意两列的选择方案式独立的，那么答案就是 \((k-1)\) 个行列式的乘积。
又因为 \(det(A)\times det(B)=det(A\times B)\)，所以答案即为所有矩阵乘积的行列式。
最后考虑原问题，其实上面的结论依然成立，具体证明可以使用 Cauchy-Binet 公式进行数学归纳。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=998244353;
typedef long long ll;
int T,k,n[110],m[110];
struct Matrix{
int v[210][210];
} A,B;
ll qpow(ll x,int a){
ll res=1;
while (a){
if (a&1) res=res*x%Mod;
x=x*x%Mod; a>>=1;
}
return res;
}
Matrix mul(const Matrix &A,const Matrix &B,int n,int m,int s){
Matrix res;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=s;j++)
res.v[i][j]=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int k=1;k<=m;k++)
if (A.v[i][k])
for (int j=1;j<=s;j++)
res.v[i][j]=(res.v[i][j]+1ll*A.v[i][k]*B.v[k][j])%Mod;
return res;
}
int det(Matrix &A,int n){
int res=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
if (!A.v[i][i]){
res=Mod-res;
for (int j=i+1;j<=n;j++)
if (A.v[j][i]){
for (int k=i;k<=n;k++) swap(A.v[i][k],A.v[j][k]);
break;
}
if (!A.v[i][i]) return 0;
}
ll inv=qpow(A.v[i][i],Mod-2);
for (int j=i+1;j<=n;j++){
ll tmp=Mod-inv*A.v[j][i]%Mod;
for (int k=i;k<=n;k++) A.v[j][k]=(A.v[j][k]+tmp*A.v[i][k])%Mod;
}
}
for (int i=1;i<=n;i++) res=1ll*res*A.v[i][i]%Mod;
return res;
}
int main(){
freopen("xpath.in","r",stdin);
freopen("xpath.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d",&k);
for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&n[i]);
for (int i=1;i<k;i++) scanf("%d",&m[i]);
int u,v;
for (int i=1;i<k;i++){
for (int x=1;x<=n[i];x++)
for (int y=1;y<=n[i+1];y++)
B.v[x][y]=0;
for (int j=1;j<=m[i];j++){
scanf("%d%d",&u,&v);
B.v[u][v]=1;
}
if (i==1) A=B;
else A=mul(A,B,n[i-1],n[i],n[i+1]);
}
printf("%d\n",det(A,n[1]));
}
return 0;
}
D1T3
先缩点，然后原图变成了一张 \(DAG\)。设 \(x\rightarrow y\) 表示有一条 \(x\) 到 \(y\) 的边，\(x\Rightarrow y\) 从 \(x\) 出发能到达 \(y\)。
观察 \(x\Rightarrow z,y\Rightarrow z\) 则有 \(x\Rightarrow y/y\Rightarrow x\) 这个条件。
将其弱化为 \(x\rightarrow z,y\rightarrow z\) 则有 \(x\Rightarrow y/y\Rightarrow x\)，若 \(x\Rightarrow y\) 则删除 \(x\rightarrow z\) 的边，否则删除 \(y\rightarrow z\) 的边。
那么原图等价于一张没有点入度 \(\geq 2\) 的图，而根据原图弱连通可以发现这张图一定为一棵外向树。
可以使用拓扑排序，每个点的父亲为连向它的点中拓扑序最大的点。
询问的话将读入的节点建立虚树，然后看树上的每个点和每条边是否能再 \(s,t\) 的路径上即可。
树剖求LCA
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,k,cnt,rt,tot,len,bel[310000],ind[310000],p[310000];
int top,sz[310000],fa[310000],dep[310000],son[310000],sum[310000];
int uu[310000],vv[310000],cc[310000],num[310000],tp[310000],s[310000];
int dtime,dfn[310000],low[310000],head,tail,que[310000];
bool ins[310000],vis[2][310000];
vector<int> old[310000],edge[310000];
int edgenum,vet[610000],Next[610000],Head[310000];
void addedge(int u,int v){
vet[++edgenum]=v;
Next[edgenum]=Head[u];
Head[u]=edgenum;
}
char Getchar(){
static char now[1<<20],*S,*T;
if (T==S){
T=(S=now)+fread(now,1,1<<20,stdin);
if (T==S) return EOF;
}
return *S++;
}
int read(){
int x=0,f=1;
char ch=Getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=Getchar();
}
while (ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=Getchar();
return x*f;
}
void tarjan(int u){
dtime++; dfn[u]=dtime; low[u]=dtime;
s[++top]=u; ins[u]=true;
for (int v:old[u])
if (!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else
if (ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
if (low[u]==dfn[u]){
cnt++;
while (s[top]!=u){
bel[s[top]]=cnt; ins[s[top]]=false;
num[cnt]++; top--;
}
bel[s[top]]=cnt; ins[s[top]]=false;
num[cnt]++; top--;
}
}
void dfs1(int u,int f){
sz[u]=1; fa[u]=f; dep[u]=dep[f]+1; sum[u]=sum[f]+num[u];
for (int v:edge[u])
if (v!=f){
dfs1(v,u); sz[u]+=sz[v];
if (sz[son[u]]<sz[v]) son[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int t){
tp[u]=t; dfn[u]=++dtime;
if (!son[u]) return;
dfs2(son[u],t);
for (int v:edge[u])
if (v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
}
int LCA(int u,int v){
while (tp[u]!=tp[v]){
if (dep[tp[u]]>dep[tp[v]]) u=fa[tp[u]];
else v=fa[tp[v]];
}
if (dep[u]<dep[v]) return u;
else return v;
}
bool cmp(int x,int y){ return dfn[x]<dfn[y];}
void addpush(int u,int v,int c){
len++; uu[len]=u; vv[len]=v; cc[len]=c;
}
void addpush(int u,int v){
len++; uu[len]=u; vv[len]=v; cc[len]=sum[fa[v]]-sum[u];
}
void build(){
p[++tot]=rt; sort(p+1,p+tot+1,cmp); tot=unique(p+1,p+tot+1)-p-1;
int top=1,tmp=tot,u; s[1]=rt;
for (int i=2;i<=tmp;i++){
u=p[i];
if (top==1){ s[++top]=u; continue;}
int l=LCA(s[top],u);
while (top>1&&dep[s[top-1]]>=dep[l]) addpush(s[top-1],s[top]),top--;
if (s[top]!=l) addpush(l,s[top]),s[top]=l,p[++tot]=l;
s[++top]=u;
}
while (top>1) addpush(s[top-1],s[top]),top--;
}
void get_DAG(){
dtime=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int v:old[i])
if (bel[i]!=bel[v]){
addedge(bel[i],bel[v]);
ind[bel[v]]++;
}
}
void topo_sort(){
head=1; tail=0;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
if (!ind[i]) que[++tail]=i,rt=i;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e]){
ind[vet[e]]--;
if (!ind[vet[e]]){
fa[vet[e]]=u;
que[++tail]=vet[e];
}
}
}
}
int solve(int u,int v){
edgenum=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
for (int i=1;i<=len;i++) addedge(uu[i],vv[i]);
head=1; tail=1; que[1]=u; vis[0][u]=true;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e])
if (!vis[0][vet[e]]){
vis[0][vet[e]]=true;
que[++tail]=vet[e];
}
}
edgenum=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
for (int i=1;i<=len;i++) addedge(vv[i],uu[i]);
head=1; tail=1; que[1]=v; vis[1][v]=true;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e])
if (!vis[1][vet[e]]){
vis[1][vet[e]]=true;
que[++tail]=vet[e];
}
}
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
int ans=0;
for (int i=1;i<=len;i++)
if (vis[0][uu[i]]&&vis[1][vv[i]]) ans+=cc[i];
for (int i=1;i<=tot;i++){
if (vis[0][p[i]]&&vis[1][p[i]]) ans+=num[p[i]];
vis[0][p[i]]=false; vis[1][p[i]]=false;
}
return ans;
}
int main(){
freopen("celebration.in","r",stdin);
freopen("celebration.out","w",stdout);
n=read(); m=read(); q=read(); k=read();
int u,v;
for (int i=1;i<=m;i++){
u=read(); v=read();
old[u].push_back(v);
}
get_DAG(); topo_sort();
for (int i=1;i<=cnt;i++)
if (i!=rt) edge[fa[i]].push_back(i);
dtime=0; dfs1(rt,0); dfs2(rt,rt);
while (q--){
tot=2; len=0;
p[1]=read(); p[2]=read();
for (int i=1;i<=k;i++){
tot++; p[tot]=read();
tot++; p[tot]=read();
}
for (int i=1;i<=tot;i++) p[i]=bel[p[i]];
for (int i=3;i<=tot;i+=2) addpush(p[i],p[i+1],0);
u=p[1]; v=p[2]; build();
printf("%d\n",solve(u,v));
}
return 0;
}
欧拉序RMQ求LCA
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,k,cnt,rt,tot,len,bel[310000],ind[310000],p[310000],f[21][610000];
int top,Q[610000],fa[310000],dep[310000],Log2[610000],sum[310000];
int uu[310000],vv[310000],cc[310000],num[310000],s[310000];
int dtime,dfn[310000],low[310000],head,tail,que[310000];
bool ins[310000],vis[2][310000];
vector<int> old[310000],edge[310000];
int edgenum,vet[610000],Next[610000],Head[310000];
void addedge(int u,int v){
vet[++edgenum]=v;
Next[edgenum]=Head[u];
Head[u]=edgenum;
}
char Getchar(){
static char now[1<<20],*S,*T;
if (T==S){
T=(S=now)+fread(now,1,1<<20,stdin);
if (T==S) return EOF;
}
return *S++;
}
int read(){
int x=0,f=1;
char ch=Getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=Getchar();
}
while (ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=Getchar();
return x*f;
}
void tarjan(int u){
dtime++; dfn[u]=dtime; low[u]=dtime;
s[++top]=u; ins[u]=true;
for (int v:old[u])
if (!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else
if (ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
if (low[u]==dfn[u]){
cnt++;
while (s[top]!=u){
bel[s[top]]=cnt; ins[s[top]]=false;
num[cnt]++; top--;
}
bel[s[top]]=cnt; ins[s[top]]=false;
num[cnt]++; top--;
}
}
void dfs(int u,int f){
dep[u]=dep[f]+1; sum[u]=sum[f]+num[u]; Q[++dtime]=u; dfn[u]=dtime;
for (int v:edge[u]){
if (v==f) continue;
dfs(v,u); Q[++dtime]=u;
}
}
void buildst(){
Log2[0]=-1;
for (int i=1;i<=dtime;i++){
f[0][i]=Q[i];
Log2[i]=Log2[i>>1]+1;
}
int x,y;
for (int j=1;j<=20;j++)
for (int i=1;i+(1<<j)-1<=dtime;i++){
x=f[j-1][i]; y=f[j-1][i+(1<<(j-1))];
f[j][i]=(dep[x]<dep[y]?x:y);
}
}
int LCA(int u,int v){
u=dfn[u]; v=dfn[v];
if (u>v) swap(u,v);
int k=Log2[v-u+1];
int x=f[k][u],y=f[k][v-(1<<k)+1];
return (dep[x]<dep[y]?x:y);
}
bool cmp(int x,int y){ return dfn[x]<dfn[y];}
void addpush(int u,int v,int c){
len++; uu[len]=u; vv[len]=v; cc[len]=c;
}
void addpush(int u,int v){
len++; uu[len]=u; vv[len]=v; cc[len]=sum[fa[v]]-sum[u];
}
void build(){
p[++tot]=rt; sort(p+1,p+tot+1,cmp); tot=unique(p+1,p+tot+1)-p-1;
int top=1,tmp=tot,u; s[1]=rt;
for (int i=2;i<=tmp;i++){
u=p[i];
if (top==1){ s[++top]=u; continue;}
int l=LCA(s[top],u);
while (top>1&&dep[s[top-1]]>=dep[l]) addpush(s[top-1],s[top]),top--;
if (s[top]!=l) addpush(l,s[top]),s[top]=l,p[++tot]=l;
s[++top]=u;
}
while (top>1) addpush(s[top-1],s[top]),top--;
}
void get_DAG(){
dtime=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int v:old[i])
if (bel[i]!=bel[v]){
addedge(bel[i],bel[v]);
ind[bel[v]]++;
}
}
void topo_sort(){
head=1; tail=0;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
if (!ind[i]) que[++tail]=i,rt=i;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e]){
ind[vet[e]]--;
if (!ind[vet[e]]){
fa[vet[e]]=u;
que[++tail]=vet[e];
}
}
}
}
int solve(int u,int v){
edgenum=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
for (int i=1;i<=len;i++) addedge(uu[i],vv[i]);
head=1; tail=1; que[1]=u; vis[0][u]=true;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e])
if (!vis[0][vet[e]]){
vis[0][vet[e]]=true;
que[++tail]=vet[e];
}
}
edgenum=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
for (int i=1;i<=len;i++) addedge(vv[i],uu[i]);
head=1; tail=1; que[1]=v; vis[1][v]=true;
while (head<=tail){
int u=que[head++];
for (int e=Head[u];e;e=Next[e])
if (!vis[1][vet[e]]){
vis[1][vet[e]]=true;
que[++tail]=vet[e];
}
}
for (int i=1;i<=tot;i++) Head[p[i]]=0;
int ans=0;
for (int i=1;i<=len;i++)
if (vis[0][uu[i]]&&vis[1][vv[i]]) ans+=cc[i];
for (int i=1;i<=tot;i++){
if (vis[0][p[i]]&&vis[1][p[i]]) ans+=num[p[i]];
vis[0][p[i]]=false; vis[1][p[i]]=false;
}
return ans;
}
int main(){
freopen("celebration.in","r",stdin);
freopen("celebration.out","w",stdout);
n=read(); m=read(); q=read(); k=read();
int u,v;
for (int i=1;i<=m;i++){
u=read(); v=read();
old[u].push_back(v);
}
get_DAG(); topo_sort();
for (int i=1;i<=cnt;i++)
if (i!=rt) edge[fa[i]].push_back(i);
dtime=0; dfs(rt,0); buildst();
while (q--){
tot=2; len=0;
p[1]=read(); p[2]=read();
for (int i=1;i<=k;i++){
tot++; p[tot]=read();
tot++; p[tot]=read();
}
for (int i=1;i<=tot;i++) p[i]=bel[p[i]];
for (int i=3;i<=tot;i+=2) addpush(p[i],p[i+1],0);
u=p[1]; v=p[2]; build();
printf("%d\n",solve(u,v));
}
return 0;
}
D2T1
通过鸽巢原理可以发现把每个字典中的串 16 个位分成一块，显然至少有一块和询问串是相同的。
暴力枚举是哪一块相同，对应字典中的串的数量期望是 8 个。然后比对是否为答案可以一块一块算 popcount。
常数大概是 \(16\times 8\times 8=1024\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
int n,m,ans,k,p[256],a[400005][16],b[16],popc[110000]; ull a1,a2;
bool s[256]; string t;
vector<pii> vec[25];
ull myRand(ull &k1,ull &k2){
ull k3=k1,k4=k2;
k1=k4;
k3^=(k3<<23);
k2=k3^k4^(k3>>17)^(k4>>26);
return k2+k4;
}
void gen(int n,ull a1,ull a2){
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=0;j<256;j++)
s[j]=(myRand(a1,a2)&(1ull<<32))?1:0;
int now=0;
for (int j=0;j<256;j+=16){
for (int k=0;k<16;k++)
a[i][now]=(a[i][now]<<1)|s[p[j+k]];
vec[now].push_back(pii(a[i][now],i));
now++;
}
}
for (int k=0;k<16;k++) sort(vec[k].begin(),vec[k].end());
}
inline void check(int x){
if (popc[a[x][0]^b[0]]+popc[a[x][1]^b[1]]+popc[a[x][2]^b[2]]+popc[a[x][3]^b[3]]+
popc[a[x][4]^b[4]]+popc[a[x][5]^b[5]]+popc[a[x][6]^b[6]]+popc[a[x][7]^b[7]]+
popc[a[x][8]^b[8]]+popc[a[x][9]^b[9]]+popc[a[x][10]^b[10]]+popc[a[x][11]^b[11]]+
popc[a[x][12]^b[12]]+popc[a[x][13]^b[13]]+popc[a[x][14]^b[14]]+popc[a[x][15]^b[15]]<=k) ans=true;
}
int main(){
freopen("qi.in","r",stdin);
freopen("qi.out","w",stdout);
srand(19260817);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
for (int i=0;i<65536;i++) popc[i]=popc[i>>1]+(i&1);
for (int i=0;i<256;i++) p[i]=i;
random_shuffle(p,p+256);
cin>>n>>m>>a1>>a2;
gen(n,a1,a2); ans=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
cin>>t>>k; int loc=0;
for (int j=0;j<256;j+=4){
for (int k=0;k<4;k++)
s[j+k]=((t[loc]>='A'?t[loc]-'A'+10:t[loc]-'0')>>(3-k))&1;
loc++;
}
if (ans)
for (int j=0;j<256;j++) s[j]^=1;
ans=0;
int now=0;
for (int j=0;j<256;j+=16){
b[now]=0;
for (int k=0;k<16;k++)
b[now]=(b[now]<<1)|s[p[j+k]];
now++;
}
for (int i=0;i<16&&!ans;i++){
int pos=lower_bound(vec[i].begin(),vec[i].end(),pii(b[i],0))-vec[i].begin();
while (pos<(int)vec[i].size()&&vec[i][pos].first==b[i]&&!ans) check(vec[i][pos].second),pos++;
}
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
D2T2
可以证明，\(W\) 操作等价于在序列后加入 \(0,1\)，\(E\) 操作等价于在序列后加入 \(0,-1,1,1\)。
每个数等价于一个矩阵，\(0\) 等价于 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，\(1\) 等价于 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，\(-1\) 等价于\(\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)。
而矩阵有结合律，\(W\) 为 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，\(E\) 为 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)。
也可以采取其它的方法推出 \(W,E\) 对应的矩阵，比如解矩阵方程（这个方法可能更容易想到）。
那么翻转和反转都可以通过维护 \(fhq-treap\) 解决。设 \(n,q\) 同阶，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod=998244353;
int n,q,rt,B,C,D; char s[110000],op[11];
int tot,ls[210000],rs[210000],sz[210000],val[210000];
mt19937 rand_num(19260817);
struct node{
int v[2][2];
node operator*(const node &a) const{
node res;
res.v[0][0]=(1ll*v[0][0]*a.v[0][0]+1ll*v[0][1]*a.v[1][0])%Mod;
res.v[0][1]=(1ll*v[0][0]*a.v[0][1]+1ll*v[0][1]*a.v[1][1])%Mod;
res.v[1][0]=(1ll*v[1][0]*a.v[0][0]+1ll*v[1][1]*a.v[1][0])%Mod;
res.v[1][1]=(1ll*v[1][0]*a.v[0][1]+1ll*v[1][1]*a.v[1][1])%Mod;
return res;
}
} num[4][210000],tmp[2];
bool rev[210000],flip[210000];
void pushrev(int u){
if (!u) return;
rev[u]^=1; swap(ls[u],rs[u]); node tmp;
tmp=num[0][u]; num[0][u]=num[1][u]; num[1][u]=tmp;
tmp=num[2][u]; num[2][u]=num[3][u]; num[3][u]=tmp;
}
void pushflip(int u){
if (!u) return;
val[u]^=1; flip[u]^=1; node tmp;
tmp=num[0][u]; num[0][u]=num[2][u]; num[2][u]=tmp;
tmp=num[1][u]; num[1][u]=num[3][u]; num[3][u]=tmp;
}
void pushup(int u){
sz[u]=sz[ls[u]]+1+sz[rs[u]];
num[0][u]=num[0][ls[u]]*tmp[val[u]]*num[0][rs[u]];
num[1][u]=num[1][rs[u]]*tmp[val[u]]*num[1][ls[u]];
num[2][u]=num[2][ls[u]]*tmp[val[u]^1]*num[2][rs[u]];
num[3][u]=num[3][rs[u]]*tmp[val[u]^1]*num[3][ls[u]];
}
void pushdown(int u){
if (rev[u]){
pushrev(ls[u]); pushrev(rs[u]);
rev[u]=0;
}
if (flip[u]){
pushflip(ls[u]); pushflip(rs[u]);
flip[u]=0;
}
}
int Merge(int x,int y){
if (!x||!y) return x|y;
if (rand_num()%(sz[x]+sz[y])<sz[x]){
pushdown(x);
rs[x]=Merge(rs[x],y); pushup(x);
return x;
} else{
pushdown(y);
ls[y]=Merge(x,ls[y]); pushup(y);
return y;
}
}
void Split(int now,int k,int &x,int &y){
if (!now){
x=0; y=0;
return;
}
pushdown(now);
if (k<=sz[ls[now]]){
y=now;
Split(ls[now],k,x,ls[now]);
} else{
x=now;
Split(rs[now],k-sz[ls[now]]-1,rs[now],y);
}
pushup(now);
}
int Newnode(int v){
tot++;
sz[tot]=1; val[tot]=v;
num[0][tot]=tmp[v]; num[1][tot]=tmp[v];
num[2][tot]=tmp[v^1]; num[3][tot]=tmp[v^1];
return tot;
}
void print(){
// printf("#%d %d\n",num[0][rt].v[0][0],num[0][rt].v[0][1]);
// printf("#%d %d\n",num[0][rt].v[1][0],num[0][rt].v[1][1]);
printf("%d %d\n",num[0][rt].v[0][0],(num[0][rt].v[0][0]+num[0][rt].v[1][0])%Mod);
}
void Append(int v){
rt=Merge(rt,Newnode(v));
}
int x,y,z;
void Flip(int l,int r){
Split(rt,r,y,z); Split(y,l-1,x,y);
pushflip(y);
rt=Merge(Merge(x,y),z);
}
void Reverse(int l,int r){
Split(rt,r,y,z); Split(y,l-1,x,y);
pushrev(y);
rt=Merge(Merge(x,y),z);
}
int main(){
freopen("code.in","r",stdin);
freopen("code.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&q);
scanf("%s",s+1);
tmp[0].v[0][0]=2; tmp[0].v[0][1]=1;
tmp[0].v[1][0]=Mod-1; tmp[0].v[1][1]=0;
tmp[1].v[0][0]=1; tmp[1].v[0][1]=0;
tmp[1].v[1][0]=1; tmp[1].v[1][1]=1;
for (int i=0;i<4;i++){
num[i][0].v[0][0]=1; num[i][0].v[0][1]=0;
num[i][0].v[1][0]=0; num[i][0].v[1][1]=1;
}
//0 原，1 翻，2 反，3 翻反
//0 E，1 W
for (int i=1;i<=n;i++) Append(s[i]=='W');
print();
int l,r;
while (q--){
scanf("%s",op);
if (op[0]=='A'){
scanf("%s",s); n++;
Append(s[0]=='W');
} else{
scanf("%d%d",&l,&r);
if (op[0]=='F') Flip(l,r);
else Reverse(l,r);
}
print();
}
return 0;
}
D2T3
先讲讲 \(O(2^nn^2m)\) 的暴力容斥，就 \(2^n\) 枚举 \(p\) 的合法下标集合，钦定这些合法。
先考虑机器人是否爆炸，否则考虑每个位置的限制 \(0/1/x/1-x\)。
- 如果有 \(0,1\) 或 \(x,1-x\) 同时存在，方案数为 \(1\)（即必须为空）。
- 如果有 \(0\ or\ 1\) 且 \(x\ or\ 1-x\) 同时存在，方案数为 \(2\)（即必须为空或某个数）。
- 否则方案数为 \(3\)。
然后优化，枚举 \(p\) 中下标最大的位置，设为 \(r\)。
先考虑机器人是否爆炸，否则可以对前 \(r\) 个位置 \(dp\)。
设 \(dp[0/1][i][s]\) 表示\(<i-(n-r)\) 的列有没有选，当前在第 \(i\) 列，\(\max(1,i-(n-r))..i\) 列选的状态为 \(s\)。
因为机器人没有爆炸，所以不可能从 \(<i-(n-r)\) 列走到位置 \(i\)，否则就会从 \(r\) 列能走到位置 \(n+1\)，显然不行。
而状态的数量显然最多 \(2^{\min(n-r,r)}\) ，所以复杂度为 \(O(n^2m2^{n/2})\)。
考虑继续优化，用 \(bitset\) 记录 \(bs[j][4]\) 若当前列 \(-j\) 为合法起点，那么当前列哪些行必须为 \(0/1/x/-x\)。之后的方案数就可以用 \(bitset\) 解决。
时间复杂度 \(O(n^2\frac{m}{\omega}2^{n/2})\)。
STL的bitset
#include<bits/stdc++.h>
#define cerr cout
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
int n,m,dp[2][2][71000],pw2[71000],pw3[71000]; char s[110];
vector<int> vec[1100],num[1100]; bool flag[4];
bitset<1005> bs[4][35],f[71000][4],all,v1,v2;
inline int add(int x,int y){ return x+y>=Mod?x+y-Mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){ return x-y<0?x-y+Mod:x-y;}
int main(){
freopen("robot.in","r",stdin);
freopen("robot.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%s",s); int len=strlen(s);
vec[i].push_back(2);
for (int j=0;j<len;j++)
if (s[j]=='R') vec[i].push_back(2);
else if (s[j]=='*') vec[i].back()^=1;
else vec[i].back()=s[j]-'0';
num[vec[i].size()].push_back(i);
}
pw2[0]=1; pw3[0]=1;
for (int i=1;i<=n*m;i++){
pw2[i]=add(pw2[i-1],pw2[i-1]);
pw3[i]=add(add(pw3[i-1],pw3[i-1]),pw3[i-1]);
}
int ans=pw3[n*m],tot=0;
for (int i=1;i<=m;i++) all.set(i);
for (int r=n;r>=0;r--){
for (int u:num[n-r+1]){
//钦定当前列-j为合法起点，那么当前列必须为0/1/2/3的是哪些行
for (int j=0;j<vec[u].size();j++) bs[vec[u][j]][j].set(u);
for (int j=vec[u].size();j<=n+2;j++) bs[2][j].set(u);
tot++;
}
dp[0][0][0]=1; dp[0][1][0]=0;//dp[0/1][0/1][s] <i-(n-r)的列有没有选，当前在第i列，i-(n-r)..i列选的状态为s
int limx,limy;
int now=0,lst=1;
for (int i=1;i<=r;i++){
now^=1; lst^=1;
limx=(1<<(min(n-r+1,i-1)))-1; limy=(1<<(min(n-r+1,i)))-1;
for (int y=0;y<=1;y++)
for (int s=0;s<=limy;s++)
dp[now][y][s]=0;
for (int x=0;x<=1;x++)
for (int s=0;s<=limx;s++){
int y=x|((s<<1)>limy);
if (i!=r) dp[now][y][(s<<1)&limy]=add(dp[now][y][(s<<1)&limy],dp[lst][x][s]);
dp[now][y][(s<<1|1)&limy]=dec(dp[now][y][(s<<1|1)&limy],dp[lst][x][s]);
}
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int j=0;j<min(n-r+1,i);j++)
for (int t=0;t<4;t++) f[1<<j][t]=bs[t][j];
f[0][0]=0; f[0][1]=0; f[0][2]=((y||i<r)?all:0); f[0][3]=0;
for (int s=0;s<=limy;s++){
for (int t=0;t<4;t++) f[s][t]=f[s^(s&-s)][t]|f[s&-s][t];
v1=(f[s][0]&f[s][1])|(f[s][2]&f[s][3]);
v2=(f[s][0]|f[s][1])&(f[s][2]|f[s][3])&(all^v1);
dp[now][y][s]=1ll*dp[now][y][s]*pw2[v2.count()]%Mod*pw3[tot-v1.count()-v2.count()]%Mod;
}
}
}
limy=(1<<(min(n-r+1,r)))-1;
for (int i=1;i<=n-r;i++){
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int j=0;j<min(n-r+1,r);j++)
for (int t=0;t<4;t++) f[1<<j][t]=bs[t][i+j];
f[0][0]=0; f[0][1]=0; f[0][2]=(y?all:0); f[0][3]=0;
for (int s=0;s<=limy;s++){
for (int t=0;t<4;t++) f[s][t]=f[s^(s&-s)][t]|f[s&-s][t];
v1=(f[s][0]&f[s][1])|(f[s][2]&f[s][3]);
v2=(f[s][0]|f[s][1])&(f[s][2]|f[s][3])&(all^v1);
dp[now][y][s]=1ll*dp[now][y][s]*pw2[v2.count()]%Mod*pw3[tot-v1.count()-v2.count()]%Mod;
}
}
}
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int s=0;s<=limy;s++){
ans=dec(ans,dp[now][y][s]);
}
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
手写bitset
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
int n,m,dp[2][2][71000],pw2[71000],pw3[71000],ctz[71000]; char s[110];
vector<int> vec[1100],num[1100]; bool flag[4];
inline int add(int x,int y){ return x+y>=Mod?x+y-Mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){ return x-y<0?x-y+Mod:x-y;}
struct Bitset{
unsigned v[32];
int count(){
int res=0;
for (int i=0;i<32;i++) res+=ctz[v[i]>>16]+ctz[v[i]&65535];
return res;
}
void set(int x){ v[x>>5]|=(1u<<(x&31));}
} bs[4][35],f[71000][4],all,v1,v2,o;
Bitset operator&(const Bitset &a,const Bitset &b){
Bitset res;
for (int i=0;i<32;i++) res.v[i]=a.v[i]&b.v[i];
return res;
}
Bitset operator|(const Bitset &a,const Bitset &b){
Bitset res;
for (int i=0;i<32;i++) res.v[i]=a.v[i]|b.v[i];
return res;
}
Bitset operator^(const Bitset &a,const Bitset &b){
Bitset res;
for (int i=0;i<32;i++) res.v[i]=a.v[i]^b.v[i];
return res;
}
int main(){
freopen("robot.in","r",stdin);
freopen("robot.out","w",stdout);
for (int i=0;i<65536;i++) ctz[i]=ctz[i>>1]+(i&1);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%s",s); int len=strlen(s);
vec[i].push_back(2);
for (int j=0;j<len;j++)
if (s[j]=='R') vec[i].push_back(2);
else if (s[j]=='*') vec[i].back()^=1;
else vec[i].back()=s[j]-'0';
num[vec[i].size()].push_back(i);
}
pw2[0]=1; pw3[0]=1;
for (int i=1;i<=n*m;i++){
pw2[i]=add(pw2[i-1],pw2[i-1]);
pw3[i]=add(add(pw3[i-1],pw3[i-1]),pw3[i-1]);
}
int ans=pw3[n*m],tot=0;
for (int i=1;i<=m;i++) all.set(i);
for (int r=n;r>=0;r--){
for (int u:num[n-r+1]){
//钦定当前列-j为合法起点，那么当前列必须为0/1/2/3的是哪些行
for (int j=0;j<vec[u].size();j++) bs[vec[u][j]][j].set(u);
for (int j=vec[u].size();j<=n+2;j++) bs[2][j].set(u);
tot++;
}
dp[0][0][0]=1; dp[0][1][0]=0;//dp[0/1][0/1][s] <i-(n-r)的列有没有选，当前在第i列，i-(n-r)..i列选的状态为s
int limx,limy;
int now=0,lst=1;
for (int i=1;i<=r;i++){
now^=1; lst^=1;
limx=(1<<(min(n-r+1,i-1)))-1; limy=(1<<(min(n-r+1,i)))-1;
for (int y=0;y<=1;y++)
for (int s=0;s<=limy;s++)
dp[now][y][s]=0;
for (int x=0;x<=1;x++)
for (int s=0;s<=limx;s++){
int y=x|((s<<1)>limy);
if (i!=r) dp[now][y][(s<<1)&limy]=add(dp[now][y][(s<<1)&limy],dp[lst][x][s]);
dp[now][y][(s<<1|1)&limy]=dec(dp[now][y][(s<<1|1)&limy],dp[lst][x][s]);
}
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int j=0;j<min(n-r+1,i);j++)
for (int t=0;t<4;t++) f[1<<j][t]=bs[t][j];
f[0][0]=o; f[0][1]=o; f[0][2]=((y||i<r)?all:o); f[0][3]=o;
for (int s=0;s<=limy;s++){
for (int t=0;t<4;t++) f[s][t]=f[s^(s&-s)][t]|f[s&-s][t];
v1=(f[s][0]&f[s][1])|(f[s][2]&f[s][3]);
v2=(f[s][0]|f[s][1])&(f[s][2]|f[s][3])&(all^v1);
dp[now][y][s]=1ll*dp[now][y][s]*pw2[v2.count()]%Mod*pw3[tot-v1.count()-v2.count()]%Mod;
}
}
}
limy=(1<<(min(n-r+1,r)))-1;
for (int i=1;i<=n-r;i++){
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int j=0;j<min(n-r+1,r);j++)
for (int t=0;t<4;t++) f[1<<j][t]=bs[t][i+j];
f[0][0]=o; f[0][1]=o; f[0][2]=(y?all:o); f[0][3]=o;
for (int s=0;s<=limy;s++){
for (int t=0;t<4;t++) f[s][t]=f[s^(s&-s)][t]|f[s&-s][t];
v1=(f[s][0]&f[s][1])|(f[s][2]&f[s][3]);
v2=(f[s][0]|f[s][1])&(f[s][2]|f[s][3])&(all^v1);
dp[now][y][s]=1ll*dp[now][y][s]*pw2[v2.count()]%Mod*pw3[tot-v1.count()-v2.count()]%Mod;
}
}
}
for (int y=0;y<=1;y++){
for (int s=0;s<=limy;s++){
ans=dec(ans,dp[now][y][s]);
}
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
