费马小定理

费马小定理

费马小定理

定义：若\(p\)为素数，\(gcd(a,p)=1\)，则\(a^{p-1}\equiv1(mod\:p)\)。
另一个形式：\(a^p\equiv a(mod\:p)\)。

费马小定理降幂：\(a^m\equiv a^{m\%p}(mod\:p)，gcd(a,p)=1\)。

证明：

方法一：数学归纳法

1. 当\(a=0\)时，显然成立。
2. 当\(a^p\equiv a(mod\:p)\)成立时：\((a+1)^p=a^p+C^1_pa^{p-1}+\dots+C^{p-1}_pa+1\)。我们发现\(p|C^i_p(i=1,2,\dots,p-1)\)，那么\((a+1)^p\equiv a^p+1(mod\:p)\)，因为我们已知\(a^p\equiv a(mod\:p)\)，所以\((a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1(mod\:p)\)。证毕。

方法二：欧拉定理证明

其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况。

已知欧拉定理\(a^{\varphi(p)}\equiv1(mod\:p)\)，当\(p\)是素数时，\(\varphi(p)=p-1\)。证毕。