欧拉函数的应用

如果你不知道什么是欧拉函数：请点这里！！！

下面让我们来检验一下对欧拉函数的理解。

873. 欧拉函数

给定\(n\)个正整数\(a_i\)，请你求出每个数的欧拉函数。
输入个数
第一行包含一个整数\(n\).
接下来\(n\)行，每行包含一个正整数\(a_i\)。
输出个数
输出共\(n\)行，每行输出一个正整数\(a_i\)的欧拉函数。

思路：简单的模板题，不做解释。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n;
ll a;

ll oula(ll x){
	ll res = x;
	for(int i = 2; i * i <= x; i++){
		if(x % i == 0){
			res = res - res / i;
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) res = res - res / x;
	return res;
}

int main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a;
		cout << oula(a) << endl;
	}
	return 0;
}

874.筛法求欧拉函数

给定一个正整数\(n\)，求\(1\dots n\)中每个数的欧拉函数之和。
输入格式
共一行，包含一个整数\(n\)。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示\(1\dots n\)中每个数的欧拉函数之和。

思路：简单的模板题，不做解释。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n, oula[MAXN];
ll res;

void Inou(){
	for(int i = 1; i <= MAXN; i++){
		oula[i] = i;
	}
	for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
		if(oula[i] == i){
			for(int j = i; j <= MAXN; j += i){
				oula[j] = oula[j] - oula[j] / i;
			}
		}
	}
}

int main(){
	cin >> n;
	Inou();
	res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		res += oula[i];
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

仪仗队

作为体育委员，\(C\)君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的\(N \times N\)的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，\(C\)君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，\(C\)君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。
输入格式
共一行，一个正整数\(n\)，\(1\leq n\leq40000\)。
输出格式
共一行，一个正整数，表示\(C\)君可以看到的学生人数。

思路：我们把\(C\)君的位置看作\((0,0)\)点，这样我们通过观察可以看到其余的点的\(x,y\)坐标的\(gcd(x,y)=1\)时，\(C\)君正好可以看见他。那么我们就可以通过欧拉函数，求出小于或等于它并与之互质的数的个数，因为图是关于\(y=x\)对称的，所以我们所求的欧拉函数要乘以\(2\)，并且要加上对称轴上看到的一位同学。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n, oula[MAXN];
ll res;

void Inou(){
	for(int i = 1; i <= MAXN; i++){
		oula[i] = i;
	}
	for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
		if(oula[i] == i){
			for(int j = i; j <= MAXN; j += i){
				oula[j] = oula[j] - oula[j] / i;
			}
		}
	}
}

int main(){
	Inou();
	ll res = 0;
	cin >> n;
	if(n == 1) cout << 0 << endl;//特殊判断当只有C君一位同学的情况
    else{
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			res += oula[i-1] * 2;
		}
		cout << res + 1 << endl;
	}	
	return 0;
}