动态规划引入—矩阵乘法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　动态规划算法适用于解最优化问题。通常可按以下4个步骤进行：

　　1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征

　　2.递归地定义最优质

　　3.以自底向上的方式计算出最优值

　　4.根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

 

举例：矩阵乘法问题

 以两个矩阵相乘为例，A1*A2，A1和A2为两个矩阵，假设A1的行列数是p*q，A2的行列数是q*r。注意这里由于是A1乘以A2，所以A1的列数要等于A2的行数，否则无法做矩阵乘法，满足上述条件的矩阵，我们称之为“相容”的。那么对于A1*A2而言，我们需要分别执行p*r次对应A1的行元素乘以A2的列元素，根据线性代数知识，不难得出我们一共需要执行p*q*r次乘法。

 

        对于两个矩阵相乘，一旦矩阵的大小确定下来了，那么所需执行的乘法次数就确定下来了。那么对于两个以上的矩阵呢？是不是也是这样呢。实际上，对于多个矩阵相乘，乘法执行的次数与“划分”有关。例如：

 

        以矩阵链<A1,A2,A3>为例，假设三个矩阵的规模分别为10X100，100X5和5X50。

 

        ①以((A1*A2)*A3)方式划分，乘法执行次数为：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次

 

        ②以(A1*(A2*A3))方式划分，乘法执行次数为：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

 

        我们可以发现，对于同样的矩阵链<A1,A2,A3>相乘而言，不同的划分，乘法次数居然相差10倍。

二、如何获得最佳的矩阵链乘法划分和最少次数

 

        这里我们需要两个二维数组记录记录是从哪里“断开”（s），记录"每一段"到哪里截止（m）。如下图：

 

 

 

 使用一个长度为n+1的一维数组p来记录每个矩阵的规模，其中n为矩阵下标i的范围1~n，例如对于矩阵Ai而言，它的规模应该是p[i-1]到p[i]。由于i是从1到n取值，所以数组p的下标是从0到n。

 

       用于存储最少乘法执行次数和最佳分段方式的结构是两个二维数组m和s，都是从1~n取值。m[i][j]记录矩阵链<Ai,Ai+1,...,Aj>的最少乘法执行次数，而s[i][j]则记录 最优质m[i][j]的分割点k。

 

       需要注意的一点是当i=j时，m[i][j]=m[i][i]=0，因为一个矩阵不需要任何乘法。

 

       假设矩阵链从Ai到Aj，有j-i+1个矩阵，我们从k处分开，将矩阵链分为Ai~Ak和Ak+1到Aj两块，那么我们可以比较容易的给出m[i][j]从k处分隔的公式：

 

       m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]；

 

       在一组确定的i和j值的情况下，要使m[i][j]的值最小，我们只要在所有的k取值中，i<=k<j，寻找一个让m[i][j]最小的值即可。

 

       假设L为矩阵链的长度，那么L=j-i+1。当L=1时，只有一个矩阵，不需要计算。那么我们可以从L=2到n进行循环，对每个合理的i和j值的组合，遍历所有k值对应的m[i][j]值，将最小的一个记录下来，存储到m[i][j]中，并将对应的k存储到s[i][j]中，就得到了我们想要的结果。

 　　根据上面的分析，不难给出过程的代码，注意这里使用的自底向上的方法：

//Ai矩阵的行列分别是p[i-1]和p[i],1<=i<=n  
  
/* 
 * 求解最少次数的乘法括号划分方案 
 */  
void Matrix_Chain(int* p, int n, int** m, int** s) {  
  
    //①将对角线上的值先赋值为0  
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  
        m[i][i] = 0;  
    }  
  
    int l = 0; //l为矩阵链的长度  
  
    //m[i][j]的第一个参数  
        int i = 0;  
  
    //m[i][j]的第二个参数  
    int j = 0;  
  
  
  
    int tmp = 0;  
  
    //②以长度L为划分，L从2开始到n  
    for (l = 2; l <= n; l++) {  
  
        //循环第一个参数，因为l的长度至少为2，所以i和j在这个循环里面肯定不相等  
        for (i = 1; i <= n - l + 1; i++) {  
            //因为j-i+1=l，所以j=l+i-1  
            j = i + l - 1;  
  
            //给m[i][j]赋初值，这里要寻找m[i][j]的最小值，本来应当给m[i][j]赋值一个正无穷，但是这里直接赋一个i=j时候的特值也可以  
            m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];  
            s[i][j] = i;  
  
            //对于每个特定的i和j的组合，遍历此时所有的合适k值，k大于等于i小于j  
            for (int k = i + 1; k < j; k++) { //这里k不能等于j，因为后面要m[k+1][j]，不然k+1就比j大了  
  
                tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];  
  
                if (tmp < m[i][j]) {  
                    m[i][j] = tmp;  
                    s[i][j] = k;  
                }  
            }  
        }  
    }  
}  

经过上面的代码，我们就求得了每种i和j组合对应的最小乘法次数m[i][j]和对应的最佳分割处s[i][j]。

三、输出最优构造划分:

 

       经过运行上面的代码，我们就准备好了s[i][j]，其中包含最佳分割信息。我们可以使用一种类似于中序遍历的方法来输出划分方式，比如对<A1,A2,A3,A4,A5>和他们对应的下标数组p而言。

void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) {  
    if (i == j) {  
        cout << "A" << i;  
    } else {  
        cout << "(";  
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);  
        print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);  
        cout << ")";  
    }  
}  

比如对于数组p={5,6,2,9,7,6}和<A1,A2,A3,A4,A5>经过上面两段代码的调用，输出划分结果：

 

((A1A2)((A3A4)A5))

 

最少乘法次数为：330次

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　转自：http://blog.csdn.net/cyp331203/article/details/42965237