浅谈贝叶斯推断

一、什么是贝叶斯推断

　　贝叶斯推断（Bayesian inference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。它是贝叶斯定理（Bayes' theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

　　贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

　　贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

　　要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。

所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

　　根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

　　因此，

　　同理可得，

　　所以，

　　即

　　这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

　　由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。

　　假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。

　　上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。

　　在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

　　即

　　在上一节的推导当中，我们已知

　　所以，

　　这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

　　将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

四、贝叶斯推断的含义

　　对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

　　我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood）（其实叫似然），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

　　所以，条件概率可以理解成下面的式子：

　　后验概率　＝　先验概率 ｘ 调整因子

　　这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

　　在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

五、水果糖问题

　　为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。

　　第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

 

六、真阳性问题

　　第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。

　　已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

 

　　我们得到了一个惊人的结果，约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

　　为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？大约9%）。