二分图最大匹配

一.理论准备

        这两天看到了图论的二部图，闲着没事就水了一道。

        先看增广路的定义：增广路，也称增广轨或交错轨：
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

        由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2. 不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M’，直到找不到更多的增广路，M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
3. 最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数，增广路主要应用于匈牙利算法中，用于求二分图最大匹配。    

        无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

        二分图匹配可用匈牙利算法，离散中学过，就是找一条交替链，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。

二.算法实现

        以POJ1274为例直接去AC吧。

import java.util.Arrays;

import java.util.Scanner;

public class POJ1274 {

  /*

   * 题意： n牛，m个房子，每个牛都只住在自己想住的房子里面，

   * 一个房子只能住一个牛，问最多可以安排多少头牛入住

   */

  static boolean map[][];

  static boolean vis[];

  //记录匹配点号

  static int path[];

  static int m,n;

  public static void main(String[] args) {

    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    while(sc.hasNext()) {

      n = sc.nextInt();//n牛

      m = sc.nextInt();//m屋

      map = new boolean[n][m];

      int num;

      for(int i=0; i<n; i++) {

        num = sc.nextInt();

        for(int j=0; j<num; j++) {

          int k = sc.nextInt();

          map[i][k-1] = true;

        }

      }

      int cnt = 0;

      /*

       * 表示牛棚和哪个牛配对

       */

      path = new int[m];

      /*

       * 由于牛编号从0开始，所以不能初始化为0

       * wa了几次

       */

      Arrays.fill(path,-1);

      vis = new boolean[m];

      for(int i=0; i<n; i++) {

        Arrays.fill(vis,false);

        if(find(i)) {

          cnt++;

        }

      }

      System.out.println(cnt);

    }

    sc.close();

  }

  private static boolean find(int s) {

    for(int i=0; i<m; i++) {

      if(map[s][i] && vis[i]==false) {

        vis[i] = true;

        /*

         * /如果i未在前一个匹配M中 || i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路   

         */

        if(path[i]==-1 || find(path[i])) {

          path[i] = s;

          return true;

        }

      }

    }

    return false;

  }

}