求两直线交点和三角形内外心

一.求两直线交点

class Point {
    double x;
    double y;
    
    public Point() {
        this.x = 0;
        this.y = 0;
    }
}

class Line {
    Point a;
    Point b;
    
    public Line() {
        this.a = new Point();
        this.b = new Point();
    }
    //求两直线的交点，斜率相同的话res=u.a
    Point intersection(Line u,Line v){
        Point res = u.a;
        double t = ((u.a.x-v.a.x)*(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.b.x-v.a.x))
            /((u.a.x-u.b.x)*(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.b.x-v.a.x));
        res.x += (u.b.x-u.a.x)*t;
        res.y += (u.b.y-u.a.y)*t;
        return res;
    }

二.求三角形外心

        1. 垂心: 三角形三条边上的高相交于一点.这一点叫做三角形的垂心.

        2. 重心: 三角形三条边上的中线交于一点.这一点叫做三角形的重心.

        3. 外心: 三角形三边的中垂线交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心.

        4. 内心三角形三内角平分线交于一点.这一点为三角形内切圆的圆心.

        已知圆的3点，先求出3边长,由海伦公式得出面积S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) p=(a+b+c)/2;由三角形面积公式S=1/2*a*b*sin(C)和正弦定理a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=直径(根据相同弦长对应的圆周角相同可证正弦定理)可得直径=a*b*c/2/S。

        求圆心坐标。利用：G是⊿ABC外心的充要条件是(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
这个性质的证明很容易的，只需要想到外心是中垂线交点即可，就可以证明这个性质了，利用向量可以避免求斜率，以及考虑斜率不存在等很多情况。

//三角形外接圆圆心(外心)
    Point center(Point a,Point b,Point c) {
        //加上这个才没有编译器提示未初始化，因为new所以也写了构造方法
        Line u = new Line(),v = new Line();
        u.a.x=(a.x+b.x)/2;
        u.a.y=(a.y+b.y)/2;
        u.b.x=u.a.x+(u.a.y-a.y);
        u.b.y=u.a.y-(u.a.x-a.x);
        v.a.x=(a.x+c.x)/2;
        v.a.y=(a.y+c.y)/2;
        v.b.x=v.a.x+(v.a.y-a.y);
        v.b.y=v.a.y-(v.a.x-a.x);
        return intersection(u,v);
    }

三.求三角形内心

        由于内心到各边距离就是半径r，可以把三角形分成三部分，再根据海伦公式得到半径r=2*S/(a+b+c)。

        内切圆心坐标(x,y): 三角形三个顶点的坐标:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则圆心为x=(x1*BC+x2*CA+x3*AB)/(AB+BC+CA)、y=(y1*BC+y2*CA+y3*AB)/(AB+BC+CA)。

        证明：内心是角平分线的交点，到三边距离相等.
　　设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c，内心为M （X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量） ，MA=（X1-X，Y1-Y） ，MB=(X2-X,Y2-Y) ，MC=(X3-X,Y3-Y)
　　则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0
　　∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)
　　∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）。

  

已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量) 


证明：设三角形ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为O。

|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c

aOA+bOB+cOC

=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)

=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)

设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|

又由角平分线定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0

(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD

又因为OA、OD反向，用角平分线定理和合比定理：

b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,

所以OA/OD=(b+c)/a , 又因为OA、OD反向，

故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.