编程之美：小飞的电梯调度算法

一.问题描述　

　　亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法： 由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。

　　问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？

二.算法描述　　

　　方法一：暴力枚举，时间复杂度O(N^2)

/*
 * O(N^2)
 */
const int N = 5;
int num[N+1];
int ans;
int min = INT_MAX;

for(i = 1;i<=N;i++)
{
    int sum = 0;
    for(j = 1;j<=N;j++)
    {
        sum += num[j] * abs(j - i);
    }
    if(sum < min)
    {
        min = sum;
        ans = i;
    }
    return (ans);
}

　　

　　方法二：书上提供的O(N)的动态规划的算法。

　　假设电梯停在i层楼，可以计算出所有乘客要爬楼层的层数为Y,假设此时有N1个乘客在i层楼以下，N2个乘客在I层楼，N3个乘客在I层楼以上，则当电梯停在i+1层的时候，N1+N2个乘客要多下一层楼，共多下N1+N2层，N3个乘客要少往上面爬一层楼，少上N3层楼，此时Y(i+1) = Y(i) + N1+N2-N3，很显然，当N1+N2<N3的时候，Y不断减小。Y1很容易算出来，另外我们还可以看出，N1+N2是递增的，N3是递减的，所以N1+N2一旦大于N3的时候，我们直接退出循环即可，没有必要再计算下去了。

　　

/*
  O(N)  dp
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
  
const int N = 5;
int num[N+1];

int solve()
{
    int ans = 1;
    int min = 0;
    int N1 = 0,N2 = num[1],N3 = 0;
    for(int i = 2;i<=N;i++)
    {
        //由于只要最小值即可，所以不必用数组保存；使用数组时不用知道N1+N2 < N3)就行 
        min += num[i] * (i-1);
        N3 +=num[i];
    }
    
    for(int i = 2;i<=N;i++)
    {
        if(N1+N2 < N3)
        {
            ans = i;
            min +=(N1+N2-N3);
    
            N1 +=N2;
            N2 = num[i];
            N3 -=num[i];
        }
        else
            break;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int i,j,k;
    num[1] = 6;
    num[2] = 2;
    num[3] = 4;
    num[4] = 9;
    num[5] = 8;
    int ans = solve();
    cout<<ans<<endl;
    while(1);
    return 0;
}
    

　　方法三：中位数

　　其实这道题目仔细分析起来就是求一组数据的中位数而已。假设两人，分别到3层楼和8层楼下，在3和8之间取一点，使得到两个点距离最小，很显然，在3和8中的每一点到3和8的距离之和都是相等的。推广到2 3

5 5 6 7 8 8 9这样一组数据，ans为中位数。

数组a存储下标，数组b存储相应人数，按b从小到大排序并交换a（或者用结构体），最后的中位数是不对的

　　

/*
 * mid_value
 */
 // 这种方法貌似是对的 
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
  
const int N = 5;
int num[N+1];

int solve()
{
    int left = 1,right = N;
    while(right-left >= 1)
    {
        while(num[left] == 0)left++;
        num[left] --;
        while(num[right] == 0)right--;
        num[right] --;
    }
    return left;
}

int main()
{
    int i,j,k;
    num[1] = 6;
    num[2] = 2;
    num[3] = 4;
    num[4] = 9;
    num[5] = 8;
    int ans = solve();
    cout<<ans<<endl;
    while(1);
    return 0;
}

三.结束语　

　　扩展问题:往上爬一层要耗费K个单位的能量，往下走耗费1个单位的能亮，只需要计算N1+N2-N3变成N1+N2-N3*K即可。其余的都是一样的。

　　扩展问题:2个有序数组求合并后的中位数，貌似是算法导论上的，有空再写……

　　 你让我安心什么什么，说话却吞吞吐吐，岂非存心让我不安