NYOJ 36

最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

 
算法

　　动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：
　　以两个序列 X、Y 为例子：
　　设有二维数组 f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
　　f[1][1] = same(1,1);
　　f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}
　　其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
　　此时，f[j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
　　该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。

 

 

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

 

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；(肯定是，因为最后一个若相等，则该字符必在LCS中)

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

 

最长公共子序列
时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：3
描述
咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为
LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
输入
第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数
接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.
输出
每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。
样例输入
2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc
样例输出
3
6

 

 

非连续
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 100
int dp[N+1][N+1];
char str1[N],str2[N];
int max(int a,int b)
{
if(a>b)
return a;
return b;
}
int LCSL(int len1,int len2)
{
int i,j;
int len=max(len1,len2);
for(i=0;i<=len;i++)
{
dp[i][0]=0;//等于是说其中一个字符串长度为0，则LCSL必为0
dp[0][i]=0;
　　}
for(i=1;i<=len1;i++)
for(j=1;j<=len2;j++)
if(str1[i-1]==str2[j-1])
　　 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else
　　 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
return dp[len1][len2];
}
int main()
　　{
int m;int len1,len2;
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
scanf("%s%s",str1,str2);
int len1=strlen(str1);
int len2=strlen(str2);
printf("%d\n",LCSL(len1,len2)); 　　
} 　　
return 0;
}