抽屉原理

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现
至少会有一个抽屉里面放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代
表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有
一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽
子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2
只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。

 

第一抽屉原理
　　原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少
于两件； 抽屉原理[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体
，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.
　　原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有
不少于m+1的物体。
　　[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn
个物体,与题设不符，故不可能
　　原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体
。.
　　原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述
第二抽屉原理
　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）
个物体。
　　[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物
体，与题设矛盾，故不可能

 

 

概述
　　应用抽屉原理解题
　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许
多有关存在性的证明都可用它来解决。
　　例1：400人中至少有2个人的生日相同.
　　解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原
理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/366=1…34,1+1=2　又如：我们从街
上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.
　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”

 

 

 

制造抽屉是运用原则的一大关键
　　例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个
数之和是34。
　　分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
　　此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数
的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8
个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点
，这两个数的和是34。
　　例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可
以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
　　分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20，8}，{19，7}，
{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。
　　另外还有4个不能配对的数{9}，{10}，{11}，{12}，共制成12个抽屉（每
个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12
，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一
个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12
）。