加分二叉树

题目描述

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $\text{tree}$ 的中序遍历为$(1,2,3,\dots ,n)$，其中数字 $1,2,3,\dots ,n$ 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$\text{tree}$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $\text{subtree}$（也包含 $\text{tree}$ 本身）的加分计算方法如下：

$\text{subtree}$ 的左子树的加分 $\times$ $\text{subtree}$ 的右子树的加分 $+$ $\text{subtree}$ 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 $1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\dots ,n)$ 且加分最高的二叉树 $\text{tree}$。要求输出

1. $\text{tree}$ 的最高加分。

2. $\text{tree}$ 的前序遍历。

输入格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数 $n$，为节点个数。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数，为最高加分（$Ans\le 4,000,000,000$）。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例 #1

样例输入 #1

5
5 7 1 2 10

样例输出 #1

145
3 1 2 4 5

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n<30$，节点的分数是小于 $100$ 的正整数，答案不超过 $4\times {10}^9$。

题目分析

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N=55;
//dp[i][j]表示中序遍历为i~j的树的最大分值 
//mid[i][j]表示中序遍历为i~j的树的根节点 
int dp[N][N],score[N],mid[N][N];
void dfs(int l,int r){
	if(l>r)return;
	int root=mid[l][r];
	cout<<root<<" ";
	dfs(l,root-1);
	dfs(root+1,r);
}
signed main(){
	int n,res;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>score[i];	
	//枚举区间长度
	for(int len=1;len<=n;len++){
		//枚举左端点
		for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
			//右端点
			int r=l+len-1;
			//枚举中序遍历的根节点
			for(int k=l;k<=r;k++){
				int left=0,right=0;
				//如果没有左子树，则左子树其加分为1 
				if(k==l)left=1;
				//否则其左子树加分为dp[l][k-1] 
				else left=dp[l][k-1];
				//如果没有右子树， 则右子树其加分为1
				if(k==r)right=1;
				//否则其左子树加分为dp[k+1][r] 
				else right=dp[k+1][r];
				int res=left*right+score[k];
				//如果左子树和右子树都没有，则其加分就是叶节点本身的分数 
				if(l==r)res=score[k];
				//如果加分大于当前dp[l][r]，则更新dp[l][r]，并记录中序遍历为l~r的树的根节点 
				if(res>dp[l][r]){
					dp[l][r]=res;
					mid[l][r]=k;
				}
			} 
		} 
	} 
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	dfs(1,n);
	return 0;
}