加分二叉树
题目描述
设一个 \(n\) 个节点的二叉树 \(\text{tree}\) 的中序遍历为\((1,2,3,\ldots,n)\)，其中数字 \(1,2,3,\ldots,n\) 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 \(i\) 个节点的分数为 \(d_i\)，\(\text{tree}\) 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 \(\text{subtree}\)（也包含 \(\text{tree}\) 本身）的加分计算方法如下：
\(\text{subtree}\) 的左子树的加分 \(\times\) \(\text{subtree}\) 的右子树的加分 \(+\) \(\text{subtree}\) 的根的分数。
若某个子树为空，规定其加分为 \(1\)，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为 \((1,2,3,\ldots,n)\) 且加分最高的二叉树 \(\text{tree}\)。要求输出
-
\(\text{tree}\) 的最高加分。
-
\(\text{tree}\) 的前序遍历。
输入格式
第 \(1\) 行 \(1\) 个整数 \(n\)，为节点个数。
第 \(2\) 行 \(n\) 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数
输出格式
第 \(1\) 行 \(1\) 个整数，为最高加分（$ Ans \le 4,000,000,000$）。
第 \(2\) 行 \(n\) 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
样例 #1
样例输入 #1
5
5 7 1 2 10
样例输出 #1
145
3 1 2 4 5
提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n< 30\)，节点的分数是小于 \(100\) 的正整数，答案不超过 \(4 \times 10^9\)。
题目分析
代码实现
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N=55;
//dp[i][j]表示中序遍历为i~j的树的最大分值
//mid[i][j]表示中序遍历为i~j的树的根节点
int dp[N][N],score[N],mid[N][N];
void dfs(int l,int r){
if(l>r)return;
int root=mid[l][r];
cout<<root<<" ";
dfs(l,root-1);
dfs(root+1,r);
}
signed main(){
int n,res;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>score[i];
//枚举区间长度
for(int len=1;len<=n;len++){
//枚举左端点
for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
//右端点
int r=l+len-1;
//枚举中序遍历的根节点
for(int k=l;k<=r;k++){
int left=0,right=0;
//如果没有左子树，则左子树其加分为1
if(k==l)left=1;
//否则其左子树加分为dp[l][k-1]
else left=dp[l][k-1];
//如果没有右子树， 则右子树其加分为1
if(k==r)right=1;
//否则其左子树加分为dp[k+1][r]
else right=dp[k+1][r];
int res=left*right+score[k];
//如果左子树和右子树都没有，则其加分就是叶节点本身的分数
if(l==r)res=score[k];
//如果加分大于当前dp[l][r]，则更新dp[l][r]，并记录中序遍历为l~r的树的根节点
if(res>dp[l][r]){
dp[l][r]=res;
mid[l][r]=k;
}
}
}
}
cout<<dp[1][n]<<endl;
dfs(1,n);
return 0;
}
