中国剩余定理

中国剩余定理：

代码实现：

//互质版中国剩余定理(CRT)
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20;
LL a[N], b[N];
int n;
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
       return;
    }
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}
int main()
{
    LL res = 0, cnt = 1;//cnt代表所有模数的乘积
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
         cin >> a[i] >> b[i];
         cnt = cnt * a[i];
    }
    LL x, y;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        LL Mi = cnt / a[i];

        exgcd(Mi, a[i], x, y);//因为模数不一定给到质数 所以我们用拓展欧几里得求逆元
        x = (x < 0? x + a[i] : x);//x即Mi的逆 
       res += b[i] * Mi % cnt * x %cnt;//直接套公式求解
    }
    cout << res % cnt <<" ";
}

中国剩余定理变形：
题目描述：

推导过程：

代码实现：

//不互质版中国剩余定理(拓展中国剩余定理 EXCRT)
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;//数据范围比较大,所以用LL来存储

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    LL a1,m1;
    cin>>n>>a1>>m1;
    LL x=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        LL a2,m2;
        cin>>a2>>m2;
        LL k1,k2;
        LL d=exgcd(a1,a2,k1,k2);
        if((m2-m1)%d)
        {
            x=-1;
            break;
        }
        k1*=(m2-m1)/d;
        //因为此时k1是k1*a1+k2*a2=d的解,所以要乘上(m2-m1)/d的倍数大小
        LL t=abs(a2/d);
        k1=(k1%t+t)%t;
        //数据比较极端,所以只求k的最小正整数解
        m1=k1*a1+m1;
        //m1在被赋值之后的值为当前"x"的值，此时赋值是为了方便下一轮的继续使用
        a1=abs(a1*a2/d);
        //循环结束时a1的值为当前所有的a1,a2,……an中的最小公倍数
    }
    if(x!=-1)
    x=(m1%a1+a1)%a1;
    //当循环结束时，此时的值应该与最小公倍数取模,以求得最小正整数解
    printf("%lld\n",x);
    return 0;
}