Good Bye 2015 D. New Year and Ancient Prophecy

New Year and Ancient Prophecy

题意:

• 给一个长度为n(1<= n <= 5000)的只含有数字的字符串，字符串首位不为’0’;
• 将字符串分割成数值严格递增的子串;并且每一个子串不能以0开头；这样的分割方式有多少种？

思路:

• 分割，显然要将每种情况都探究到，DP的特点。其中需要优化的点有
  
  1. 怎么快速比较两个子串表示的数值的大小？
     LCP(longest common prefix)使用数组lcp(a,b)表示以a,b开头的子串前缀相同字符的长度；初始化要为-1，不能为0；
  2. 如何构造dp式子。dp一般是从容易求解(情况少的子结构开始求解，之后组成复杂的结构)，那分割有两个元素是必须的，一个是分割的位置，一个是子串的长度；还有更重要的要知道与子结构的关系。。重点:因为长度有代表数值大小的含义，那么不妨认为是dp:以l为左边界长度大于等于len的分法数；
  3. 转移方程: dp[l][len] += dp[l+len][len] ? dp[l+len][len+1];
     ?表示s[l…l+len] 是否大于 s[l+len…l+len+len]; 答案就是dp[0][1]中；

      

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,n) for(int i = 0;i < (n);i++)
#define MS1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
const int mod = 1e9+7;
const int MAXN = 5050;
int lcp[MAXN][MAXN],n;
int dp[MAXN][MAXN];
char S[MAXN];
int LCP(int a,int b)
{
    if(a >= n || b >= n) return 0;
    int& ret = lcp[a][b];
    if(~ret) return ret;
    ret = 0;
    if(S[a] == S[b]){
        ret = LCP(a+1,b+1) + 1;
    }
    return ret;
}
int f(int l,int len)    //以l为左端，长度大于等于len的分法数；
{
    if(S[l] == '0') return 0;
    if(l + len > n) return 0;
    if(l + len == n) return 1;
    int& ret = dp[l][len];
    if(~ret) return ret;
    ret = 0;
    ret = f(l,len+1);   // ** 先求解子结构；
    if(l+len < n){
        int a = LCP(l,l+len);
        ret += (a<len&&S[l+a]<S[l+len+a])?f(l+len,len):f(l+len,len+1);
        if(ret >= mod) ret -= mod;   // 相加mod用减法更快~
    }
    return ret;
}
int main()
{
    MS1(dp);MS1(lcp);
    scanf("%d%s",&n,S);
    printf("%d",f(0,1));
}