Dancing links 算法讲解

转自于：http://www.cnblogs.com/grenet/p/3145800.html

精确覆盖问题的定义：给定一个由0-1组成的矩阵，是否能找到一个行的集合，使得集合中每一列都恰好包含一个1

例如：如下的矩阵

就包含了这样一个集合（第1、4、5行）

 

如何利用给定的矩阵求出相应的行的集合呢？我们采用回溯法

 

矩阵1：

 

先假定选择第1行，如下所示：

如上图中所示，红色的那行是选中的一行，这一行中有3个1，分别是第3、5、6列。

由于这3列已经包含了1，故，把这三列往下标示，图中的蓝色部分。蓝色部分包含3个1，分别在2行中，把这2行用紫色标示出来

根据定义，同一列的1只能有1个，故紫色的两行，和红色的一行的1相冲突。

那么在接下来的求解中，红色的部分、蓝色的部分、紫色的部分都不能用了，把这些部分都删除，得到一个新的矩阵

矩阵2：

行分别对应矩阵1中的第2、4、5行

列分别对应矩阵1中的第1、2、4、7列

 

于是问题就转换为一个规模小点的精确覆盖问题

 

在新的矩阵中再选择第1行，如下图所示

还是按照之前的步骤，进行标示。红色、蓝色和紫色的部分又全都删除，导致新的空矩阵产生，而红色的一行中有0（有0就说明这一列没有1覆盖）。说明，第1行选择是错误的

 

那么回到之前，选择第2行，如下图所示

按照之前的步骤，进行标示。把红色、蓝色、紫色部分删除后，得到新的矩阵

矩阵3：

行对应矩阵2中的第3行，矩阵1中的第5行

列对应矩阵2中的第2、4列，矩阵1中的第2、7列

 

由于剩下的矩阵只有1行，且都是1，选择这一行，问题就解决

于是该问题的解就是矩阵1中第1行、矩阵2中的第2行、矩阵3中的第1行。也就是矩阵1中的第1、4、5行

 

在求解这个问题的过程中，我们第1步选择第1行是正确的，但是不是每个题目第1步选择都是正确的，如果选择第1行无法求解出结果出来，那么就要推倒之前的选择，从选择第2行开始，以此类推

 

从上面的求解过程来看，实际上求解过程可以如下表示

1、从矩阵中选择一行

2、根据定义，标示矩阵中其他行的元素

3、删除相关行和列的元素，得到新矩阵

4、如果新矩阵是空矩阵，并且之前的一行都是1，那么求解结束，跳转到6；新矩阵不是空矩阵，继续求解，跳转到1；新矩阵是空矩阵，之前的一行中有0，跳转到5

5、说明之前的选择有误，回溯到之前的一个矩阵，跳转到1；如果没有矩阵可以回溯，说明该问题无解，跳转到7

6、求解结束，把结果输出

7、求解结束，输出无解消息

 

从如上的求解流程来看，在求解的过程中有大量的缓存矩阵和回溯矩阵的过程。而如何缓存矩阵以及相关的数据（保证后面的回溯能正确恢复数据），也是一个比较头疼的问题（并不是无法解决）。以及在输出结果的时候，如何输出正确的结果（把每一步的选择转换为初始矩阵相应的行）。

 

于是算法大师Donald E.Knuth（《计算机程序设计艺术》的作者）出面解决了这个方面的难题。他提出了DLX（Dancing Links X）算法。实际上，他把上面求解的过程称为X算法，而他提出的舞蹈链（Dancing Links）实际上并不是一种算法，而是一种数据结构。一种非常巧妙的数据结构，他的数据结构在缓存和回溯的过程中效率惊人，不需要额外的空间，以及近乎线性的时间。而在整个求解过程中，指针在数据之间跳跃着，就像精巧设计的舞蹈一样，故Donald E.Knuth把它称为Dancing Links（中文译名舞蹈链）。

 

Dancing Links的核心是基于双向链的方便操作（移除、恢复加入）

我们用例子来说明

假设双向链的三个连续的元素，A1、A2、A3，每个元素有两个分量Left和Right，分别指向左边和右边的元素。由定义可知

A1.Right=A2，A2.Right=A3

A2.Left=A1，A3.Left=A2

在这个双向链中，可以由任一个元素得到其他两个元素，A1.Right.Right=A3，A3.Left.Left=A1等等

 

现在把A2这个元素从双向链中移除（不是删除）出去，那么执行下面的操作就可以了

A1.Right=A3，A3.Left=A1

那么就直接连接起A1和A3。A2从双向链中移除出去了。但仅仅是从双向链中移除了，A2这个实体还在，并没有删除。只是在双向链中遍历的话，遍历不到A2了。

那么A2这个实体中的两个分量Left和Right指向谁？由于实体还在，而且没有修改A2分量的操作，那么A2的两个分量指向没有发生变化，也就是在移除前的指向。即A2.Left=A1和A2.Right=A3

 

如果此时发现，需要把A2这个元素重新加入到双向链中的原来的位置，也就是A1和A3的中间。由于A2的两个分量没有发生变化，仍然指向A1和A3。那么只要修改A1的Right分量和A3的Left就行了。也就是下面的操作

A1.Right=A2，A3.Left=A2

 

仔细想想，上面两个操作（移除和恢复加入）对应了什么？是不是对应了之前的算法过程中的关键的两步？

移除操作对应着缓存数据、恢复加入操作对应着回溯数据。而美妙的是，这两个操作不再占用新的空间，时间上也是极快速的

 

在很多实际运用中，把双向链的首尾相连，构成循环双向链

 

Dancing Links用的数据结构是交叉十字循环双向链

而Dancing Links中的每个元素不仅是横向循环双向链中的一份子，又是纵向循环双向链的一份子。

因为精确覆盖问题的矩阵往往是稀疏矩阵（矩阵中，0的个数多于1），Dancing Links仅仅记录矩阵中值是1的元素。

 

Dancing Links中的每个元素有6个分量

分别：Left指向左边的元素、Right指向右边的元素、Up指向上边的元素、Down指向下边的元素、Col指向列标元素、Row指示当前元素所在的行

 

Dancing Links还要准备一些辅助元素（为什么需要这些辅助元素？没有太多的道理，大师认为这能解决问题，实际上是解决了问题）

Ans（）：Ans数组，在求解的过程中保留当前的答案，以供最后输出答案用。

Head元素：求解的辅助元素，在求解的过程中，当判断出Head.Right=Head（也可以是Head.Left=Head）时，求解结束，输出答案。Head元素只有两个分量有用。其余的分量对求解没啥用

C元素：辅助元素，称列标元素，每列有一个列标元素。本文开始的题目的列标元素分别是C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。每一列的元素的Col分量都指向所在列的列标元素。列标元素的Col分量指向自己（也可以是没有）。在初始化的状态下，Head.Right=C1、C1.Right=C2、……、C7.Right=Head、Head.Left=C7等等。列标元素的分量Row=0，表示是处在第0行。

 

下图就是根据题目构建好的交叉十字循环双向链（构建的过程后面的详述）

就上图解释一下

每个绿色方块是一个元素，其中Head和C1、C2、……、C7是辅助元素。橙色框中的元素是原矩阵中1的元素，给他们标上号（从1到16）

左侧的红色，标示的是行号，辅助元素所在的行是0行，其余元素所在的行从1到6

每两个元素之间有一个双向箭头连线，表示双向链中相邻两个元素的关系（水平的是左右关系、垂直的是上下关系）

单向的箭头并不是表示单向关系，而因为是循环双向链，左侧的单向箭头和右侧的单向箭头（上边的和下边的）组成了一个双向箭头，例如元素14左侧的单向箭头和元素16右侧的单项箭头组成一个双向箭头，表示14.Left=16、16.Right=14；同理，元素14下边的单项箭头和元素C4上边的单向箭头组成一个双向箭头，表示14.Down=C4、C4.Up=14

 

接下来，利用图来解释Dancing Links是如何求解精确覆盖问题

1、首先判断Head.Right=Head？若是，求解结束，输出解；若不是，求解还没结束，到步骤2（也可以判断Head.Left=Head？）

2、获取Head.Right元素，即元素C1，并标示元素C1（标示元素C1，指的是标示C1、和C1所在列的所有元素、以及该元素所在行的元素，并从双向链中移除这些元素）。如下图中的紫色部分。

如上图可知，行2和行4中的一个必是答案的一部分（其他行中没有元素能覆盖列C1），先假设选择的是行2

 

3、选择行2（在答案栈中压入2），标示该行中的其他元素（元素5和元素6）所在的列首元素，即标示元素C4和标示元素C7，下图中的橙色部分。

注意的是，即使元素5在步骤2中就从双向链中移除，但是元素5的Col分量还是指向元素C4的，这里体现了双向链的强大作用。

 

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

一下子空了好多，是不是转换为一个少了很多元素的精确覆盖问题？，利用递归的思想，很快就能写出求解的过程来。我们继续完成求解过程

 

4、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

如图，列C2只有元素7覆盖，故答案只能选择行3

 

5、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

6、获取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直双向链中没有其他元素，也就是没有元素覆盖列C5。说明当前求解失败。要回溯到之前的分叉选择步骤（步骤2）。那要回标列首元素（把列首元素、所在列的元素，以及对应行其余的元素。并恢复这些元素到双向链中），回标列首元素的顺序是标示元素的顺序的反过来。从前文可知，顺序是回标列首C6、回标列首C3、回标列首C2、回标列首C7、回标列首C4。表面上看起来比较复杂，实际上利用递归，是一件很简单的事。并把答案栈恢复到步骤2（清空的状态）的时候。又回到下图所示

 

7、由于之前选择行2导致无解，因此这次选择行4（再无解就整个问题就无解了）。选择行4（在答案栈中压入4），标示该行中的其他元素（元素11）所在的列首元素，即标示元素C4，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

8、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

如图，行3和行5都可以选择

 

9、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

10、获取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直双向链中没有其他元素，也就是没有元素覆盖列C5。说明当前求解失败。要回溯到之前的分叉选择步骤（步骤8）。从前文可知，回标列首C6、回标列首C3。并把答案栈恢复到步骤8（答案栈中只有4）的时候。又回到下图所示

 

11、由于之前选择行3导致无解，因此这次选择行5（在答案栈中压入5），标示该行中的其他元素（元素13）所在的列首元素，即标示元素C7，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

12、获取Head.Right元素，即元素C3，并标示元素C3。如下图中的紫色部分。

 

13、如上图，列C3只有元素1覆盖，故答案只能选择行3（在答案栈压入1）。标示该行中的其他元素（元素2和元素3）所在的列首元素，即标示元素C5和标示元素C6，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

14、因为Head.Right=Head。故，整个过程求解结束。输出答案，答案栈中的答案分别是4、5、1。表示该问题的解是第4、5、1行覆盖所有的列。如下图所示（蓝色的部分）

 

从以上的14步来看，可以把Dancing Links的求解过程表述如下

 

1、Dancing函数的入口

2、判断Head.Right=Head？，若是，输出答案，返回True，退出函数。

3、获得Head.Right的元素C

4、标示元素C

5、获得元素C所在列的一个元素

6、标示该元素同行的其余元素所在的列首元素

7、获得一个简化的问题，递归调用Daning函数，若返回的True，则返回True，退出函数。

8、若返回的是False，则回标该元素同行的其余元素所在的列首元素，回标的顺序和之前标示的顺序相反

9、获得元素C所在列的下一个元素，若有，跳转到步骤6

10、若没有，回标元素C，返回False，退出函数。

 

 

 

之前的文章的表述，为了表述简单，采用面向对象的思路，说每个元素有6个分量，分别是Left、Right、Up、Down、Col、Row分量。

但在实际的编码中，用数组也能实现相同的作用。例如：用Left（）表示所有元素的Left分量，Left（1）表示元素1的Left分量

在前文中，元素分为Head元素、列首元素（C1、C2等）、普通元素。在编码中，三种元素统一成一种元素。如上题，0表示Head元素，1表示元素C1、2表示元素C2、……、7表示元素C7，从8开始表示普通元素。这是统一后，编码的简便性。利用数组的下标来表示元素，宛若指针一般。

 

 

下面是代码的讲解

 

1、该类的一些变量

    Private Left() As Integer, Right() As Integer, Up() As Integer, Down() As Integer 
    Private Row() As Integer, Col() As Integer 

    Private _Head As Integer 

    Private _Rows As Integer, _Cols As Integer, _NodeCount As Integer 
    Private Ans() As Integer

 

前两行表示每个元素的六个分量，用数组表示；_Head表示元素Head，在类中初始化时令其等于0；_Rows表示矩阵的行数，_Cols表示矩阵的列数，_NodeCount表示元素的个数；Ans（）用于存放答案

 

 

2、求解的主函数，Dance函数，是个递归函数，参数K表示当前的调用层数。

    Public Function Dance() As Integer() 
        Return IIf(Dance(0) = True, Ans, Nothing) 
    End Function  

    Private Function Dance(ByVal K As Integer) As Boolean 

        Dim C1 As Integer = Right(_Head) 
        If (C1 = _Head) Then 
            ReDim Preserve Ans(K - 1) 
            Return True 
        End If

        RemoveCol(C1) 

        Dim I As Integer, J As Integer 

        I = Down(C1) 
        Do While I <> C1 
            Ans(K) = Row(I) 

            J = Right(I) 
            Do While J <> I 
                RemoveCol(Col(J)) 
                J = Right(J) 
            Loop 

            If Dance(K + 1) Then Return True 

            J = Left(I) 
            Do While J <> I 
                ResumeCol(Col(J)) 
                J = Left(J) 
            Loop 

            I = Down(I) 
        Loop  

        ResumeCol(C1) 
        Return False 
    End Function

 

其中第一个函数Dance是对外开放的函数，它通过调用Dance（0）来求解问题，根据返回值来决定返回答案（当为True的时候）还是返回空（当为False的时候）

第二个函数是求解的主函数。首先通过Right（_Head）获得_Head元素的右元素。判断是否等于自身，若是，求解结束，因为答案保存在Ans（0）到Ans（K-1）中，所以先把答案数组中多余的部分去除（利用Redim语句）。

RemoveCol函数是用来标示列首元素的，ResumeCol函数用来回标列首元素的，其中通过Col（J）获得J元素的列首元素。在函数中有个很聪明的设计，在标示列首元素时，顺序是从I元素的右侧元素开始；而在回标列首元素时，顺序是从I元素的左侧元素开始，正好顺序和标示列首元素的顺序相反。

在调用Dance（K+1）前，把当前选中的行保存到Ans（K）中，当Dance（K+1）返回True时，说明递归调用获得正确的解，那直接返回True；返回False时，说明当前选择的行不正确，回标列首元素，获得下一个元素。

当元素C1中所在的列的其余元素所选定的行没有求解正确的递归函数时（包括C1列没有其余的元素），说明当前的求解失败，回标列首元素C1，返回False

 

 

3、求解的辅助函数，RemoveCol函数，标示列首函数

    Public Sub RemoveCol(ByVal Col As Integer) 

        Left(Right(Col)) = Left(Col) 
        Right(Left(Col)) = Right(Col) 

        Dim I As Integer, J As Integer 

        I = Down(Col) 
        Do While I <> Col 
            J = Right(I) 
            Do While J <> I 
                Up(Down(J)) = Up(J) 
                Down(Up(J)) = Down(J) 
                J = Right(J) 
            Loop 

            I = Down(I) 
        Loop 

    End Sub

 

首先，利用Left(Right(Col)) = Left(Col) 和Right(Left(Col)) = Right(Col) 把列首元素Col从水平双向链中移除出去。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素从垂直双向链中移除出去，利用的是Up(Down(J)) = Up(J) 和Down(Up(J)) = Down(J)。找寻Col所在列的其余元素的顺序是从下边（Down分量）开始，移除所在行其余元素的顺序是从右边（Right分量）开始 。可以参考之前的图中的紫色部分。

 

4、求解的辅助函数，ResumeCol函数，回标列首函数

    Public Sub ResumeCol(ByVal Col As Integer) 

        Left(Right(Col)) = Col 
        Right(Left(Col)) = Col 

        Dim I As Integer, J As Integer 

        I = Up(Col) 

        Do While (I <> Col) 
            J = Right(I) 
            Do While J <> I 
                Up(Down(J)) = J 
                Down(Up(J)) = J 
                J = Right(J) 
            Loop 
            I = Up(I) 
        Loop 

    End Sub

 

首先，利用Left(Right(Col)) = Col 和Right(Left(Col)) = Col 把列首元素Col恢复到水平双向链中。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素恢复到垂直双向链中，利用的是Up(Down(J)) = J 和Down(Up(J)) = J。找寻Col所在列的其余元素的顺序是从上边（Up分量）开始（和之前的RemoveCol函数相反），恢复所在行其余元素的顺序是从右边（Right分量）开始 。

 

5、类的初始化函数

    Public Sub New(ByVal Cols As Integer) 
        ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols) 
        Dim I As Integer 

        Up(0) = 0 
        Down(0) = 0 
        Right(0) = 1 
        Left(0) = Cols 

        For I = 1 To Cols 
            Up(I) = I 
            Down(I) = I 
            Left(I) = I - 1 
            Right(I) = I + 1 
            Col(I) = I 
            Row(I) = 0 
        Next 

        Right(Cols) = 0 

        _Rows = 0 
        _Cols = Cols 
        _NodeCount = Cols 
        _Head = 0 
    End Sub

 

初始化函数有一个参数Cols，表示这个矩阵的列数。

初始化的时候，由于没有传入矩阵元素的信息。因此，在该函数中先把辅助元素完成

0表示Head元素，1-Cols表示Cols个列的列首元素

第一句，重定义六个分量的数组，表示Head元素和列首元素的六个分量。

Right(0) = 1表示Head元素的Right分量指向列首元素1（第1列的列首元素）；Left(0) = Cols表示Head元素的Left分量指向列首元素Cols（第Cols列的列首元素）

后面的一段循环，给每个列首元素指定六个分量。Up和Down分量指向自己，Left分量指向左边的列首元素（I-1），Right分量指向右边的列首元素（I+1），Col分量指向自己，Row分量为0，参看前面的图。最后Right（Cols）=0，Cols列的列首元素的Right分量指向Head元素

其后是一些变量的赋值。把_Head赋值为0，表示0为Head元素，是为了后面的代码的直观性

 

 

6、添加矩阵元素的函数

    Public Sub AppendLine(ByVal ParamArray Value() As Integer) 
        _Rows += 1 
        If Value.Length = 0 Then Exit Sub 

        Dim I As Integer, K As Integer = 0 

        For I = 0 To Value.Length - 1 
            If Value(I) = 1 Then 
                _NodeCount += 1 
                ReDim Preserve Left(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Right(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Up(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Down(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Row(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Col(_NodeCount) 
                ReDim Preserve Ans(_NodeCount) 
                If K = 0 Then 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount) = _NodeCount 
                    K = 1 
                Else 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1 
                    Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) 
                    Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount 
                End If 

                Down(_NodeCount) = I + 1 
                Up(_NodeCount) = Up(I + 1) 
                Down(Up(I + 1)) = _NodeCount 
                Up(I + 1) = _NodeCount  

                Row(_NodeCount) = _Rows 
                Col(_NodeCount) = I + 1 
            End If 
        Next 

    End Sub

 

把矩阵的一行元素（包括0和1）添加到类中

在前文中介绍了Dancing Links中只存储1的元素（稀疏矩阵），因此，在添加的时候，先判断值是否是1。

那实际上问题是如何把元素添加到双向链中，在添加的过程中，自左向右添加。

 

先考量如何把元素添加到水平双向链中

当添加这一行的第一个元素时，由于还没有双向链，首先构造一个只有一个元素的双向链。Left(_NodeCount) = _NodeCount和Right(_NodeCount) = _NodeCount。这个元素的Left和Right分量都指向自己。

从第二个元素开始。问题就转换为把元素添加到水平双向链的末尾，实际上需要知道之前的水平双向链的最左边的元素和最右边的元素，可以肯定的是最右边的元素是_NodeCount-1，最左边的元素是什么？之前并没有缓存啊。由于是循环双向链，Right（_NodeCount-1）就是这双向链的最左边的元素。Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1，把当前元素的Left分量指向最右边的元素即_NodeCount-1；Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) ，把当前元素的Right分量指向最左边的元素即Right（_NodeCount-1）；Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount，把最左边的元素即Right（_NodeCount-1）的Left分量指向当前元素；Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount，把最右边的元素即_NodeCount-1的Right分量指向当前元素

 

再考量如何把元素添加到垂直双向链

同样，问题就转换为把元素添加到垂直双向链的末尾，实际上需要知道之前的垂直双向链的最上边的元素和最下边的元素。和水平双向链的不同，我们没法知道最下边的元素，但是我们可以利用列首元素知道最上边的元素（列首元素就是该双向链中最上边的元素）。因此，最上边的元素是I+1（因为I是从0开始的，故相应的列就是I+1，相应的列首元素就是I+1），那么最下边的元素就是Up（I+1）。Down(_NodeCount) = I + 1，把当前元素的Down分量指向最上边的元素即I+1；Up(_NodeCount) = Up(I + 1) ，把当前元素的Up分量指向最下边的元素即Up（I+1）；Down(Up(I + 1)) = _NodeCount，把最下边元素即Up（I+1）的Down分量指向当前元素；Up(I + 1) = _NodeCount，把最上边元素即I+1的Up分量指向当前元素

 

至此，完成了把当前元素添加到两个双向链的过程

最后，给当前元素的Row分量和Col分量赋值

 

在文首的题目中，添加第一行的数据，如下调用

AppendLine（0，0，1，0，1，1，0）