uva 106 - Fermat vs. Pythagoras()

暴力果断超时 下面给出一个大神的证明：

http://www.cnblogs.com/devymex/archive/2010/08/07/1799713.html

这是一道数论题，用数学的语言描述就是：x, y, z∈N，给定一个数n，找出所有的x, y, z ≤ n，使得x² + y² = z²成立。如果要穷举所有的x, y, z的话，按照题目所给的数据量，肯定是无法在限定时间内完成的。考虑利用毕达哥拉斯数的性质生成所有的x, y, z来解决，数学推导简要介绍如下：

先假定x, y, z两两互质，由于x, y互质，故x, y中至少有1个是奇数。下面用反证法证明x和y中有且只有1个奇数。假定x, y都为奇数，设：

• x = 2a + 1
• y = 2b + 1
• x² + y² = (2a + 1)² + (2b + 1)² 
  = 4(a² + b² + a + b) + 2

又因为x²和y²是奇数，则z²是偶数，且必能被4整除，与上式矛盾，因此x, y中只有一个奇数。

假设x为奇数，y为偶数，则z为奇数，2z与2x的最大公因数为2，2z和2x可分别写作

• 2z = (z + x) + (z - x)
• 2x = (z + x) - (z - x)

那么跟据最大公因数性质，z + x和z - x的最大公因数也为2，又因为：

• (z + x)(z - x) = y²，两边同除以4得：
  ((z + x) / 2)((z - x) / 2) = (y / 2)²

故可令：

• z + x = 2m², z - x = 2n²
  其中z = m + n, x = m - n（m与n互质）

则有：

• y² = z² - x² = 2m²2n² = 4m²n²
  即y = 2mn。

综上所述，可得到下式：

• x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n². (m, n为任意自然数)

这里还有一个问题：题目要求统计(x, y, z)三元组的数量时只统计x，y和z两两互质的的情况，这个问题用上面的算法就可以解决了。但对于统计p的数量，题目并不限定三元组是两两互质的。但是上式不能生成所有x, y, z并不是两两互质的情况。然而假设x与y最大公因数w不为1，则z也必能被w整除，因此w为x, y, z三个数的公因数。归纳总结可知，所有非两两互质的x₀, y₀, z₀都可由一组互质的x, y, z乘以系数得到。根据以上理论就可以快速的求解了。

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using std::min;
using std::max;

int gcd(int a, int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int ans[1000010];
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        int sum=0;
         memset(ans, 0, sizeof(ans));
        for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i)
        {
            for(int j=i+1; j<=sqrt(n); ++j)
            {
                int x=j*j-i*i;
                int y=2*i*j;
                int z=i*i+j*j;
                if(x<=n && y<=n && z<=n&& gcd(x,y)==1 && gcd(x,z)==1 && gcd(z,y)==1 && gcd(i,j)==1)
                {
                    sum++;
                    for(int k=1; z*k<=n; ++k)
                        ans[k*x]=ans[k*y]=ans[k*z]=1;
                }
            }
        }
        int num=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            if(!ans[i]) num++;
            printf("%d %d\n",sum,num);
    }
    return 0;
}