K-means聚类算法
K-means 聚类算法
Preset
这篇差不多完全CV了博主的这篇博客\(\cdots\) 仅仅将代码改为了python3实现，对代码风格，逻辑做了少许改动。
首先简要的说一说机器学习中的分类和聚类：分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在这里，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means。
K-means算法简介
通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。
我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：
如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。
k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。
k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：
\[J(c, \mu)=\sum_{i=1}^k\left\|x^{(i)}-\mu_{c^{(i)}}\right\|
\]
上式中，\(μ_{c^{(i)}}\)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。
上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：
-
随机选取k个聚类质心点
-
重复下面的过程直到收敛
- 对于每一个样例 i , 计算其应该属于的类:
\[c^{(i)}:=\mathop{argmin}\limits_{j}\left\|x^{(i)}-\mu_j\right\|^2 \]- 对于每一个类 j ，重新计算其质心：
\[\mu_j:=\frac{\sum_{i=1}^ml\{c^{(i)}=j\}x^{(i)}}{\sum_{i=1}^ml\{c^{(i)}=j\}} \]
下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2:
其伪代码描述如下：
创建k个点作为初始的质心点（随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
对数据集中的每一个数据点
对每一个质心
计算质心与数据点的距离
将数据点分配到距离最近的簇
对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心
Python实现
Code
import numpy as np
import pandas as pd
import sys
import matplotlib.pyplot as plt
# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
return np.sqrt(np.sum(np.power(vector2 - vector1, 2)))
# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
idx=np.random.choice(range(dataSet.shape[0]),k)
centroids=dataSet[idx]
return centroids
# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
numSamples = dataSet.shape[0]
# first column stores which cluster this sample belongs to,
# second column stores the error between this sample and its centroid
clusterAssment = np.mat(np.full((numSamples, 2), -1))
clusterChanged = True
## step 1: init centroids
centroids = initCentroids(dataSet, k)
while clusterChanged:
clusterChanged = False
## for each sample
for i in range(numSamples):
minDist = sys.maxsize
minIndex = 0
## for each centroid
## step 2: find the centroid who is closest
for j in range(k):
distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
if distance < minDist:
minDist = distance
minIndex = j
## step 3: update its cluster
if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
clusterChanged = True
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2
else:
clusterAssment[i, 1] = minDist**2
## step 4: update centroids
for j in range(k):
pointsInCluster = dataSet[np.nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]] ## matrix.A convert matrix to array
centroids[j, :] = np.mean(pointsInCluster, axis = 0)
print('Cluster complete!')
return centroids, clusterAssment
# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
numSamples, dim = dataSet.shape
if dim != 2:
print("Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!")
return 1
mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+b', 'sg', 'dk', '<r', 'pb']
if k > len(mark):
print("Sorry! Your k is too large! The markers are not enough to show your clusters")
return 1
# draw all samples
for i in range(numSamples):
markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])
mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^r', '+b', 'sg', 'dk', '<r', 'pb']
# draw the centroids
for i in range(k):
plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)
plt.show()
if __name__ == '__main__':
clusterNum = 4
## step 1: load data
dataSet=pd.read_csv('../data/data.csv')
## step 2: clustering...
dataSet=np.mat(dataSet)
centroids, clusterAssment=kmeans(dataSet, clusterNum)
## step 3: show the result
showCluster(dataSet, clusterNum, centroids, clusterAssment)
Data
1.658985, 4.285136
-3.453687, 3.424321
4.838138, -1.151539
-5.379713, -3.362104
0.972564, 2.924086
-3.567919, 1.531611
0.450614, -3.302219
-3.487105, -1.724432
2.668759, 1.594842
-3.156485, 3.191137
3.165506, -3.999838
-2.786837, -3.099354
4.208187, 2.984927
-2.123337, 2.943366
0.704199, -0.479481
-0.392370, -3.963704
2.831667, 1.574018
-0.790153, 3.343144
2.943496, -3.357075
-3.195883, -2.283926
2.336445, 2.875106
-1.786345, 2.554248
2.190101, -1.906020
-3.403367, -2.778288
1.778124, 3.880832
-1.688346, 2.230267
2.592976, -2.054368
-4.007257, -3.207066
2.257734, 3.387564
-2.679011, 0.785119
0.939512, -4.023563
-3.674424, -2.261084
2.046259, 2.735279
-3.189470, 1.780269
4.372646, -0.822248
-2.579316, -3.497576
1.889034, 5.190400
-0.798747, 2.185588
2.836520, -2.658556
-3.837877, -3.253815
2.096701, 3.886007
-2.709034, 2.923887
3.367037, -3.184789
-2.121479, -4.232586
2.329546, 3.179764
-3.284816, 3.273099
3.091414, -3.815232
-3.762093, -2.432191
3.542056, 2.778832
-1.736822, 4.241041
2.127073, -2.983680
-4.323818, -3.938116
3.792121, 5.135768
-4.786473, 3.358547
2.624081, -3.260715
-4.009299, -2.978115
2.493525, 1.963710
-2.513661, 2.642162
1.864375, -3.176309
-3.171184, -3.572452
2.894220, 2.489128
-2.562539, 2.884438
3.491078, -3.947487
-2.565729, -2.012114
3.332948, 3.983102
-1.616805, 3.573188
2.280615, -2.559444
-2.651229, -3.103198
2.321395, 3.154987
-1.685703, 2.939697
3.031012, -3.620252
-4.599622, -2.185829
4.196223, 1.126677
-2.133863, 3.093686
4.668892, -2.562705
-2.793241, -2.149706
2.884105, 3.043438
-2.967647, 2.848696
4.479332, -1.764772
-4.905566, -2.911070
Results
其中，不同的颜色代表不同的簇，中间的菱形对应每一个簇的中心。
算法分析
k-means算法比较简单，但也有很多缺点：
- （1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：
- （2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：
- （3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：
- （4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。
k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感。
