八数码问题的八重境界(转载学习)
境界一、 暴力广搜+STL
开始的时候,自然考虑用最直观的广搜,因为状态最多不超过40万,计算机还是可以接受的,由于广搜需要记录状态,并且需要判重,所以可以每次图的状态转换为一个字符串,然后存储在stl中的容器set中,通过set的特殊功能进行判重,由于set的内部实现是红黑树,每次插入或者查找的复杂度为Log(n),所以,如果整个算法遍历了所有状态,所需要的复杂度为n*Log(n),在百万左右,可以被计算机接受,由于对string操作比较费时,加上stl全面性导致 速度不够快,所以计算比较费时,这样的代码只能保证在10秒内解决任何问题。但,明显效率不够高。POJ上要求是1秒,无法通过,第一次的代码见Code1.cpp。
境界二、广搜+哈希
考虑到费时主要在STL,对于大规模的遍历,用到了ST的set和string,在效率上的损失是很大的,因此,现在面临一个严重的问题,必须自己判重,为了效率,自然是自己做hash。有点麻烦,hash函数不好想,实际上是9!种排列,需要每种排列对应一个数字。网上搜索,得知了排列和数字的对应关系。取n!为基数,状态第n位的逆序值为哈希值第n位数。对于空格,取其为9,再乘以8!。例 如,1 3 7 24 6 9 5 8 的哈希值等于:0*0! + 2*1! + 0*2! + 1*3! + 3*4! +1*5! + 0*6! + 1*7! + 0*8! <9!具体的原因可以去查查一些数学书,其中1 2 34 5 6 7 8 9 的哈希值是0 最小,9 8 7 6 54 3 2 1 的哈希值是(9!-1)最大。而其他值都在0 到(9!-1) 中,且均唯一。然后去掉一切STL之后,甚至包括String之后,得到单向广搜+Hash的代码,算法已经可以在三秒钟解决问题,可是还是不够快!POJ时限是1秒,后来做了简单的更改,将路径记录方法由字符串改为单个字符,并记录父节点,得到解,这次提交,266ms是解决单问题的上限。当然,还有一个修改的小技巧,就是逆序对数不会改变,通过这个,可以直接判断某输入是否有可行解。由于对于单组最坏情况的输入,此种优化不会起作用,所以不会减少单组输入的时间上限,经过这些优化的代码见Code2.cpp。
境界三、广搜+哈希+打表
好,问题可以在200—300ms间解决,可是,这里我们注 意到一个问题,最坏情况下,可能搜索了所有可达状态,都无法找到解。如果这个题目有多次输入的话,每次都需要大量的计算。其实,这里可以从反方向考虑下,从最终需要的状态,比如是POJ 1077需要的那种情况,反着走,可达的情况是固定的。可以用上面说的那种相应的Hash的方法,找到所有可达状态对应的值,用一个bool型的表,将可达状态的相应值打表记录,用“境界三”相似的方法记录路径,打入表中。然后,一次打表结束后,每次输入,直接调用结果!这样,无论输入多少种情况,一次成功,后面在O(1)的时间中就能得到结果!这样,对于ZOJ的多组输入,有致命的帮助!此境界代码改动不大,不再给出,下同。
境界四、双向广搜+哈希 Hash,不再赘述,现在,我们来进行进一步的优化,为了减少状态的膨胀,自然而然的想到了双向广搜,从输入状态点和目标状态1 2 3 4 5 6 7 8 9同时开始搜索,当某方向遇到另一个方向搜索过的状态的时候,则搜索成功,两个方向对接,得到最后结果,如果某方向遍历彻底,仍然没有碰上另一方向,则无法完成,代码不再给出,原因见上……
境界五、A*+哈希+简单估价函数 用到广搜,就可以想到能用经典的A*解决,用深度作为g(n),剩下的自然是启发函数了。对于八数码,启发函数可以用两种状态不同数字的数目。接下来就是A*的套路,A*的具体思想不再赘述,因为人工智能课本肯定比我讲的清楚。但是必须得注意到,A*需要满足两个条件:
1.h(n)>h'(n),h'(n)为从当前节点到目标点的实际的最优代价值。
2.每次扩展的节点的f值大于等于父节点的f值小。
自然,我们得验证下我们的启发函数,h验证比较简单不用说,由于g是深度,每次都会较父节点增1。再看h,认识上, 我们只需要将h看成真正的“八数码”,将空格看空。这里,就会发现,每移动一次,最多使得一个数字回归,或者说不在位减一个。 h最多减小1,而g认为是深度,每次会增加1。所以,f=g+h, 自然非递减,这样,满足了A*的两个条件,可以用A*了!此境界代码也不列出,因为后几个加了优化的代码,是此境界的父集,或者说升级版。既然逻辑上一样,我们就只给出级别最高的。
境界六、A*+哈希+曼哈顿距离
A*的核心在启发函数上,境界五若想再提升,先想到的是启发函数。这里,曼哈顿距离可以用来作为我们的启发函数。曼哈顿距离听起来神神秘秘,其实不过是“绝对轴距总和”,用到八数码上,相当与将所有数字归位需要的最少移动次数总和。作为启发函数,自然需要满足“境界五”提到的那两个条件。现在来看这个曼哈顿距离,第一个条件自然满足。对于第二个,因为空格被我们剥离出去,所以交换的时候只关心交换的那个数字,它至多向目标前进1,而深度作为g每次是增加1的,这样g+h至少和原来相等,那么,第二个条件也满足了。A*可用了,而且,有了个更加优化的启发函数。因为还可以升级,所以……代码不给出。
境界七、A*+哈希+曼哈顿距离+小顶堆
经过上面优化后,我们发现了A*也有些鸡肋的地方,因为需要每次找到所谓Open表中f最小的元素,如果每次排序,那么排序的工作量可以说是很大的,即使是快排,程序也不够快!这里,可以想到,由于需要动态的添加元素,动态的得到程序的最小值,我们可以维护一个小顶堆,这样的效果就是。每次取最小元素的时候,不是用一个n*Log(n)的排序,而是用log(n)的查找和调整堆,好,算法又向前迈进了一大步。这里,我们终于要给出代码了,代码参见Code3.Cpp。
境界八、IDA*+曼哈顿距离
IDA*即迭代加深的A*搜索,实现代码是最简练的,无须状态判重,无需估价排序。那么就用不到哈希表,堆上也不必应用,空间需求变的超级少。效率上,应用了曼哈顿距离。同时可以根据深度和h值,在找最优解的时候,对超过目前最优解的地方进行剪枝,这可以导致搜索深度的急剧减少,所以,这,是一个致命的剪枝!因此,IDA*大部分时候比A*还要快,可以说是A*的一个优化版本!代码参见Code4.cpp。