UOJ#422 小Z的礼物

非常神奇的一个套路......首先min-max容斥一波，变成枚举子集然后求所有子集min的期望。

一个子集的期望怎么求？我们可以求出所有的r = 2nm - n - m个选法中能够选到这个子集的方案数k，那么概率就是k / r，则期望是r / k。

发现子集数量上天了......但是这个方案数k十分之小。

于是我们非常神奇的转换思路。

求出对于每个k，有多少个子集满足恰有k种选法能够选到。

这样我们就能够把k当成一维状态，进行状压DP。压轮廓线上的点是否选入子集，一格一格转移。

每种选法在右边/下边的格子统计。每次枚举当前这格选不选，然后观察方案数是否增加。

如果选了一个格子，集合数量改变，要乘一个-1作为系数。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 typedef long long LL;
 4 const int N = 110, MO = 998244353;
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 6 int G[N][N], n, m, f[2][1200][200], inv[1200];
 7 char str[N];
 8 
 9 inline void add(int &a, const int &b) {
10     a = a + b;
11     while(a >= MO) a -= MO;
12     while(a < 0) a += MO;
13     return;
14 }
15 
16 inline void out(int x) {
17     for(int i = 0; i < m; i++) printf("%d", (x >> i) & 1);
18     return;
19 }
20 
21 int main() {
22 
23     scanf("%d%d", &n, &m);
24     for(int i = 1; i <= n; i++) {
25         scanf("%s", str + 1);
26         for(int j = 1; j <= m; j++) {
27             G[j][i] = (str[j] == '*');
28         }
29     }
30     std::swap(n, m);
31 
32     /// input over
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34     int lm = (1 << m), up = 2 * n * m - n - m;
35     f[0][0][0] = -1;
36     for(int i = 1; i <= n; i++) {
37         for(int j = 0; j < m; j++) {
38             /// pos (i, j)
39             int p = (i - 1) * m + j;
40 
41             for(int w = 0; w <= up; w++) {
42                 for(int s = 0; s < lm; s++) {
43                     f[(p + 1) & 1][w][s] = 0;
44                 }
45             }
46 
47             for(int w = 0; w <= up; w++) {
48                 for(int s = 0; s < lm; s++) {
49                     if(!f[p & 1][w][s]) continue;
50                     //printf("f (%d %d) w=%d ", i, j, w); out(s); printf(" = %d \n", f[p][w][s]);
51                     int c = f[p & 1][w][s], temp = 0;
52                     if(j) temp += (s >> (j - 1)) & 1;
53                     if(i > 1) temp += (s >> j) & 1;
54                     add(f[(p + 1) & 1][w + temp][s & (~(1 << j))], c); /// not choose
55                     if(G[i][j + 1]) {
56                         add(f[(p + 1) & 1][w + (i > 1) + (j > 0)][s | (1 << j)], -c); /// choose
57                     }
58                 }
59             }
60         }
61     }
62     //printf("\n");
63     inv[0] = inv[1] = 1;
64     for(int i = 2; i <= up; i++) {
65         inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
66     }
67     int ans = 0, p = n * m;
68     for(int w = 1; w <= up; w++) {
69         for(int s = 0; s < lm; s++) {
70             add(ans, 1ll * f[p & 1][w][s] * inv[w] % MO * up % MO);
71             //printf("ed : w=%d ", w); out(s); printf(" = %d \n", f[p][w][s]);
72         }
73     }
74     printf("%d\n", ans);
75     return 0;
76 }