离散数学

离散数学

一、概述

离散数学（又称计算机数学）是现代数学的重要分支，是计算机专业核心基础课程之一。

介绍

课程内容主要包括集合论，数理逻辑，关系理论，图论相关内容，通过这门课程的学习，将会培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，缜密概括能力以及分析和解决实际问题的能力。
离散数学的学习，为其后续课程（如数据结构、操作系统、计算机网络、编译理论、数字逻辑理论、数据库系统、算法分析、系统结构、人工智能等）的学习打下坚实的理论基础。

注：其研究对象一般为：有限或可数个元素

二、第一章数理逻辑

1、命题

能够判断真假的陈述句称为命题

例子：

1. 雪是白的。
2. 2是奇数。
3. 火星上有水。

不是命题的：

1. X+Y > 5
2. 你是谁？
3. 我正在说假话。（悖论）

非命题

1、一切没有判断内容的句子都不能作为命题
2、有时还需要依靠环境，条件，时间才能确定其值
3、含变量且影响判断结果的陈述句不是命题

2、简单命题或原子命题

简单命题：不能被分解成更简单的命题。 即无连接词

3、命题的表示（符号化）

1、用小写英文字母p,q,r等表示命题
2、以1表示真，0表示假。

4、复合命题

由两个或多个简单命题组成

例子：
   期中考试，张三没有考及格。
   期中考试，张三和李四都考及格了。

5、命题连接词

非
并且
或
如果…,则…
当且仅当
既不…，也不…
要么…，要么…

符号连接

否定联接词

合取联接词

蕴含联接词

例子：

等价连接词

异或联接词

逻辑联结词的优先级

6、命题公式及其赋值

命题常元：表示确定的命题｛0，1｝
命题变元：真值可以变化的简单陈述句
命题公式：
由命题变元、常元、联结词、括号等以规定的格式联结起来的符号串
常用大写英文字母Ａ…Ｚ表示
简称为公式

命题层次

[定义]设A，B，C是命题公式，n>=0：
1 若A是单个命题变项，则称A是0层公式.
2 称A是n+1层公式是指A符合下列情况之一：
	1)A= ¬B，B是n层公式；
	2)A= BC，B和C层数的最大值为n；
	3)A= BC，B和C层数的最大值为n；
	4)A= BC，B和C层数的最大值为n；
	5)A= B↔C，B和C层数的最大值为n.
3若公式A的层次为k，则称A是k层公式。

若指定的一组值使A的值为真，则称这组值为成真赋值

若指定的一组值使A的值为假，则称这组值为成假赋值。

命题公式A在其所有可能的赋值下取得的值列成的表称为A的真值表。

若A在它各种赋值下取值均为真，则称A为重言式或永真式
若A在它各种赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式
若A至少存在一组赋值是成真赋值，则称A为可满足式

7、真值表

时间2022-10-25 晚上

三、第二章等值式

1、概述

设A,B是两个命题公式，若A,B构成的等价式A«B是重言式，则称A与B等值，记作AÛB，并称AÛB是等值式

注：<=>不是联结词符号；

2、基本等值公式

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3、例题

1、证明两个公式等值

证明两个公式是否等值的方法

1、方法一 :真值表法
2、方法二:观察法,观察到000, 010是B的成真赋值，是A的成假赋值
3、方法三 :先用等值演算化简公式，然后再观察

4、判断公式类型

时间:2022-10-26 晚上

5、析取范式与合取范式

1、概述

1、简单析取式——有限个命题变项或其否定构成的析取式  
2、简单合取式——有限个命题变项或其否定构成的合取式           

2、析取范式和合取范式

1、析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
2、合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
3、范式——析取范式与合取范式的总称

性质：
(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式.
(2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式.

3、求范式步骤

6、极小项与极大项

1、概述

1、概述
由于范式的不唯一性，我们考虑对构成范式的简单合取式或简单析取式进一步规范化，从而形成唯一的主析取范式和主合取范式。
这就是极小项与极大项

2、定义
在含有 n 个命题变元 p1,p2,p3,··· ,pn 的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变元与其否定不同时存在，但二者之一恰好出现一次且仅一次，并且出现的次序与 p1,p2,p3,··· ,pn一致，则称此简单合取式（简单析取式）为关于 p1,p2,p3,··· ,pn的一个极小项（极大项）。

2、性质

1、极小项的性质
   没有两个不同的极小项是等价的。
   每个极小项只有一组成真赋值，因此可用于给极小项编码。
   编码规律为：命题变元与 1 对应，命题变元的否定与 0 对应。

2、极大项的性质
   没有两个不同的极大项是等价的。
   每个极大项只有一组成假赋值，因此可用于给极大项编码。
   编码规律为：命题变元与 0 对应，命题变元的否定与 1 对应。

注意：极小项和极大项的编码方式刚好相反，不要混淆。

7、主析取范式与主合取范式

1、概述

1、主析取范式
   在给定的析取范式中，若每一个简单合取式都是极小项，且按照编码从小到大的顺序排列，则称该范式为主析取范式。即由极小项构成的析取范式
2、主合取范式
   在给定的合取范式中，若每一个简单析取式都是极大项，且按照编码从小到大的顺序排列，则称该范式为主合取范式。即由极大项构成的合取范式

3、求主析取范式和主合取范式的方法
   等值推演法：利用基本等值公式进行变换
   真值表技术：对公式的真值结果进行分解，分解成等价的极小项的析取或者极大项的合取

时间：2022-10-31 午休

第三章 命题逻辑的推理理论

1、推理的形式结构

一组前提，一个结论
前提、结论都是命题
若前提为A1, A2, …, Ak，结论为B，则将这样的推理形式称为： A1, A2, …, Ak推出B
直观上，正确的推理应该保证：如果前提正确，结论应该也正确。

定义

推理步骤

推理的形式结构

2、判断推理是否正确

1、真值表法
2、等值演算法
3、主析取范式法

例子

3、推理公式

4、自然推理系统 P

5、证明方法

1、直接证明法
2、附加前提证明法
3、归谬法

例子

例:构造下面推理的证明：
   若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、也不是星期三.

例子

归谬论

例子

构造下面推理的证明：如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以， 当小赵去看电影时,小李也去看电影。

第四章一阶逻辑基本概念

1、一阶逻辑

一阶逻辑 命题符号化

个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的3个基本要素

2、个体词

3、谓词

例子

4、全称量词

5、存在量词

6、全总个体域

7、不同个体域

8、特性谓词添加

9、一阶逻辑公式及其解释

1、一阶逻辑的形式语言

2、函数符号与谓词符号

3、自由变元与约束变元

辖域

自由变元与约束变元

闭式

公式的解释

例子

第五章一阶逻辑等值演算与推理

1、一阶逻辑等值式与基本的等值式

定义

基本等值式

2、置换规则、换名规则、代替规则

例子

消去量词

3、前束范式

定义

定理（前束范式存在定理）

一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式

求解步骤：

例子：

4、自然推理系统及其推理规则

1、推理的形式结构

例子：

2、推理定律

3、自然推理系统

4、例子

第六章集合代数

1、集合定义

2、集合表示法

3、元素与集合

4、集合与集合

5、空集、全集和幂集

例子

6、集合的运算

7、文氏图

例子：

8、广义运算

关于广义运算的说明

运算的优先权规定

时间：2022-11-08 晚上

9、有穷集合元素的计数

1、计数方法

文氏图法

例题

公式法—包含排斥原理

例题

10、集合恒等式

11、集合等式的证明

时间：2022-11-13 晚上