电子电路基础学习笔记（二）

接下来我们运用复数的知识来解决复杂的电源信号问题：

2.27 正弦电路

 

用复阻抗来分析复杂电路，把电容和电感看作是特殊类型的电阻。

由于电容效应和电阻效应，产生了相位差。

用复数表示正弦函数有一些好处：复数的形式很丰富，有的适合加减运算，有的乘除比较方便。

 

注意，复数的实部才有物理意义，虚部是没有的。但是需要虚部来表示相位等信息。

所以要把复数化为在极坐标下的表示，前面的系数，才是有实际意义的。也就是模长。

再运用叠加原理，把这样得出来的电压分别作用在R,L,C上。

 

我们得到了，复数形式下的R,L,C：

我们发现，电阻上的电流电压一直是实时对应的，相位差是0°

电容上的电流超前电压90°，或者说电流落后电压270°

电感，电流滞后电压90°

然后用欧姆定律形式得到电阻，容抗，感抗。这样求出来，仅与频率有关，与时间无关，就不需要求解微分方程。

这种方法，可以把C和L看作电路中的“频率敏感电阻”，这样把直流电源换成交流电源。

在分析时，把所有的电压、电流、电阻、阻抗以复数形式给出，带入欧姆定律。

基尔霍夫、戴维南等定理就都成立了。

 

我们来求一求：

R=V/I=R

 

 

J是复数单位，我们发现套公式之后，C,L和R的区别之处就在于他们求瞬时电流的公式要求导，就把e的幂上的j拿出来了。这不就是复数嘛。没有实部。我们知道虚部没有物理意义，也就是不会改变电流的大小，能量的多少。但是，会改变相位。

我们改写一下：

 

交流欧姆定律为：

                                   电压=电流×复阻抗

注意，这三者是角频率的函数。也就是频域的，而不是时域的。P124

 

对于交流电路，复阻抗在分压，串并联，等一系列功能上于电阻相同。实部是电阻值，虚部是电抗值。

 

 

 

2.28交流电的功率：

一个RLC电路，VA称为视在功率。

VA=I_RMSV_RMS

视在功率并不是交流电路的有功功率，所以单位不是瓦特，是VA（伏-安）。

视在功率=电阻消耗（有功功率）+无功功率

有功功率的单位是瓦，用I_RMS²R计算

无功功率的单位是var（伏-安电抗），I_RMS²X计算

 

千万要注意这里面所有的值都是复数！！

视在功率并不是两者相加，，要考虑相位。

用I²X求出来的是功率极坐标形式的系数，用上式可以避免相位计算。

 

突然发现，有功功率和无功功率两个复数是垂直的！因为I²都一样，R和L,C是垂直的。视在功率是向量和的模长。

这又闭合了，就像电阻的复数和电抗的复数是垂直的一样。很整齐。

 

2.28.1功率因数

功率因数PF是消耗功率于视在功率的比值。

同样的，在上面说的有功功率，无功功率，视在功率三者形成的复数三角形里，PF可以是有功功率和视在功率夹角的cos值。

然而这个夹角，竟然就是电源电压V_S于电流I_S的相位差！这就很灵性了。

PF是一个比值所以要在后面加上“超前”、“滞后”的表示。P130

仔细研读133页的例子，非常的详细。

 

 

2.29交流电路戴维南

类似直流电路，戴维南定理：

任何RLC复杂电路，都可以等效成包含一个正弦电压源和一个等效复阻抗的的串联。

 

例如要求电路中某元件两端电压，需要移去该元件，求出等效电压和复阻抗。

 

 

2.30谐振电路

我们从上文能体会到，电容和电感两个储能装置对于电路的影响是相反的。那对于LC电路，就会有一种情况是L和C的效果互相抵消，由公式可以得出当电源频率处于特殊的谐振频率时，等效复阻抗为0。相当于短路。也就是这时通过电源的电流理论趋于无穷大。当然现实是被内阻限制。

 

可想而知，谐振频率下的LC电路，电容与电感两端的电压大小相等，相位相反。所以总分压是0。

 

以上说的是串联LC电路，下面谈谈并联的。

 

还是那个角频率，在L，C阻抗相等时。这时等效复阻抗的电阻无穷大，相当于开路。这一点可以用并联阻抗计算公式得出。

原理如何理解？

由于此时阻抗相等，所以流过L和C的电流大小是相等的，但是方向相反。而且两者是并联的，形成了回路。于是这些能量就在这个回路里不断循环震荡。形成了LC振荡电路。

不过这很理想，能量还是会损失的。而且也不能完全是电阻无穷大，也会耗电源。

 

在LC振荡电路，能量的大小取决于L和C的大小，回路里的电流称为环流。

 

 

 

 

2.30.1RLC串联谐振电路（带通电路）

前面说的LC振荡电路是在理想状况下，实际不太可能，总会有电阻效应。

特别是电感在高频（HF）时电阻损耗是非常大的。

 

通过一些加入了R的计算，发现电阻限制了最大电流。在谐振时，电流就是，电压除以电阻。

谐振的时候是这样，但是如果频率变化了，总阻抗会变大。频率变低时，容抗占主导，高于谐振频率时，感抗占主导。因此电流也会由电容电感主导，变低。

这里的变化曲线有一个尖峰，要看P143的图。

 

千万仔细理解宽带和窄带！！仔细理解，图中画的是个宽带。

也就是，不论什么样的RLC电路，都在谐振频率会有一个极大值，就是一个峰。

但是周围曲线下降的速度就取决于，电路里的L，C是什么量级的。很大的话，变化一点频率，电抗就会迅速增大。电流也就迅速减小。

 

所以，窄带的尖峰就会非常的尖，这就很好嘛！滤波器，选择性极强，对于特定频率的信号非常敏感。

宽带不仅仅对谐振频率很敏感，附近的一系列频率都差不多。

带通电路名副其实。

 

 

2.30.2品质因数Q与带宽

电抗与电阻之比，或者储存电量与消耗电量之比，Q，称为品质因数或者增益因子、放大因子。

在高频时，我们知道电感的阻抗很大，电容的阻抗小。那么电容就可以忽略，电感的阻抗就是电路的阻抗。

电感的Q大，也就是储存的能量远大于消耗的能量。

 

空载品质因数就是谐振时的电抗除以电阻，这里是容抗=感抗。

空载Q=感抗/电阻。

原因我不知道。。

 

品质因数就是反应一个储能的部件，不论是单个器件还是一个电路，的品质。

对于谐振电路，空载Q越大，谐振的尖峰约尖。也就是窄带。体现对频率响应的灵敏。

在电路-频率的图上，尖峰的峰值取决于电阻的大小，形态却取决于Q。

 

2.30.3带宽

上面说的品质因数可以表示电路的频率选择性，带宽其实也可以。

我们认为在尖峰处的电流为1，将任意曲线的尖峰高度归一。用电流是尖峰处的比例来刻画电流变化。

然后我们找到电流是0.707倍处，也就是根二分之一，这时的功率是峰值的0.5。

这样的点有两个，两点之间的频率跨越范围就是带宽。

对于Q大于10的来说，两边基本对称。带宽BW=谐振频率/空载品质因数

 

2.30.4RLC电路中元件两端的电压

抗性元件两端的电压可以通过交流欧姆定律求出来。电抗*电流

但是这样求出来很有可能大于电源电压。

我们再结合Q的定义和电流的计算式，可以知道在谐振时，电容或者电抗两端的电压计算式：

 

 

2.30.5电容损耗

前面我们把电感做了主要的讨论，因为在高频（HF）段上电容的损耗很小。

但是如果高于30MHz，在30~300MHz的VHF段，电容损耗对Q的影响不容忽视。

电容损耗主要来自板间介质的泄露电阻，这个电阻与电容是并联的关系。

 

泄露电阻达到影响Q的程度，我们就要把它转换成等效串联电阻。公式如下：

其中R是漏电电阻。

 

由于集肤效应（电子积聚在导线表面），电感、电容随着频率增大而增大。就会极大的影响Q值。

 

 

2.30.6并联谐振电路

 

与串联一样，电路的主要损耗来自于电感线圈的电阻。

前面也说过，并联谐振电路在谐振时阻抗最大。我们也就称他为反谐振电路或者带阻电路。

 

这一点结合上面的带通，应该比较好理解。

 

但是并联谐振电路复杂不少。比如它阻抗最大时的频率并不是感抗=容抗的频率。

但我们可以用LC电路的计算式来近似计算。

 

这些是由R引起的，在电感支路上的R改变了谐振条件，当容抗和电抗相等时两支路却不相等，而且两支路的相位也不再是理想的180°，这样一来电流也不是最小值了。

通过P147的向量图我们能看出。

 

我们通过微调，找到电流的最小值，把电流最小作为电路谐振的标志。这个点称为反谐振点。

在反谐振点，容抗不等于阻抗。

 

在这里，我们就把电感的电阻拿出来，等效称为并联电阻。前面说了，那些都是由R引起的，我们把它拿出来。它随着Q值增大而增大。

这样，谐振时，就相当于电路只接上了这一个等效电阻。

 

关于环流：在震荡回路里的电流，谐振环流大约等于Q乘干路电流。这个干路电流是流过等效并联电阻的电流。

 

2.30.7空载电路的Q

 

当并联LC谐振电路并联一个负载时，品质因数就是负载电阻除以电容或者电抗。

 

这个负载电阻决定了Q值，这在设计带通滤波器的时候可以达到调节Q的目的，Q的大小决定带宽。

 

2.31分贝

 

两个信号比较功率和幅值，比如放大器输出是输入的十倍，这叫增益。

若要是十分之一，就是衰减。

 

功率表示的范围很大，不方便直接表示。我们取对数。

贝尔定义了功率的比值

 

P₀是参考电压

 

一分贝是10bel。

翻一倍，就是10lg2=3.01dB

减小到0.5，就是10lg（0.5）=-3.01dB

负号表示功率减小，直接认为增益是-3dB，或者是3dB的下降。

 

对于一些标准参考值，比如常用的参考功率是1mW，功率与1mW进行比值得出的分贝是dB_m

要注意的是，一切比值建立在阻抗不变的基础上。

 

2.32输入和输出阻抗

 

输入阻抗是从输入端看过去的阻抗，把电路看成一个原件测量。可想而知输入阻抗和电压频率也有关系。

输出阻抗就是从输出一方得到的阻抗，这时候把这个电路看作电源，它的戴维南等效电路就是一个电压源串联一个电阻抗。所以这个电阻抗应该尽可能的小来提升电源效率。

在信号传输上，电源的输出阻抗不大于负载输入阻抗的0.1倍。

 

输出阻抗就是戴维南等效阻抗。把电源置零可以得到。

 

 

2.33二端口网络和滤波器

 

滤波器：连接RLC，设计成一个网络，使之能让一定频率的信号通过而阻挡其他频率的信号。

说四种：低通，高通，带通，带阻滤波器。

 

低通滤波器：

RC低通滤波器，实际上是一个RC分压器，输出是C的两端。

频率低时，电阻阻抗很大，电路电流很小，输出电压近似于输入电压。

电容的延时作用，在低频时，输出电压与输入电压的相位差很小，在频率无穷大时，输出滞后90°。

 

电压传递函数：H=V_OUT/V_IN=

这个公式一开始还没啥感觉，后来就有内味了。

两者之比，以输出为单位1，输入的实部也是1，只是有虚数的变化。也就是相位差。

我们把它改写成分母是1的，就能直观得出输出发生了什么变化。

 

但是我们如果接入一个负载R_L，情况就不一样了。实际分压是电容和R_L上的分压，就需要重新计算。得出，负载让滤波器的增益减小，让截止频率增大。

P160

。。。。。。。

 

 

2.34瞬态电路：

瞬态现象反映了由于外部电路的突然变化引起的电压变化。

换路引起瞬态发生，根本原因是电容的电场能和电感的磁场能不能突变。

换路定律：在换路的瞬间，电容两端的电压和电感上的电流不可能突变。

 

 

 

激励和响应：

电路从电源、信号源输入的信号称为激励或者输入。

电路在外部激励或者内部储能作用下产生的电压电流称为响应或者输出。

 

1.     零输入响应：在没有外部激励，仅凭自身储能产生的响应。

2.     零状态响应：在外部换路时，自身储能元件没有能量时的响应。

3.     全响应，既有外部输入也有自身储能产生的响应。

 

当响应有输入成分时，我们可以分为阶跃响应，正弦响应，脉冲响应。

 

一阶电路：只含有一个储能元件，或者简化之后只含有一个储能元件的电路。

对于一阶电路的瞬态分析列出的方程都是一阶微分方程。

 

对于零输入响应和零状态响应我们可以看成是全响应的特例。

 

有：

F(t)是任意瞬态响应。

 

2.35周期非正弦电源电路

 

如果一个非周期电源施加到电容电感上，比如三角波、锯齿波。我们怎么办？

不能用直流分析，也不是正弦电路不能用复阻抗理论。

如何分析？

能用的就是基尔霍夫定律。再用数学式子表示。因为不能用复阻抗，所以会得出微分方程。

 

为了避免求微分方程，我们也知道电源的表达式不好写，但是我们要使用复阻抗就需要有正弦波。要把电源表示成正弦信号的叠加。

傅里叶说：一系列正弦波相加可以获得任意非正弦周期波形。

这就是谐波分析。用傅里叶级数表示信号

 

可以看出，两部分组成：直流分量和交流分量。

交流分量又称为谐波。

 

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

傅里叶级数请看

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

这个真不错

然后我们用傅里叶变换可以得到任意信号的傅里叶级数表示，最后运用叠加定理，把每个分量单独的看作正弦量进行复阻抗分析。

 

运用傅里叶变换分析电路的步骤，运用傅里叶变换对计算电源的傅里叶变换式，把时域问题转换成频域问题，然后通过阻抗求电流的傅里叶变换式，最后根据傅里叶变换对进行反变换，载回到时域上来。

这样虽然要积分，但是可以避免求解微分方程。

 

至此，基础理论部分全部结束。

除了滤波器。

 

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BY：胡小安