P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles【DP、数塔问题】

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 

在上面的样例中,从 7 \to 3 \to 8 \to 7 \to 57→3→8→7→5 的路径产生了最大

输入格式

第一个行一个正整数 rr ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

输入输出样例

输入

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出 

30

说明/提示

【数据范围】
对于 100\%100% 的数据，1\le r \le 10001≤r≤1000，所有输入在 [0,100][0,100] 范围内。

解题思路

这是一道入门级的dp数塔问题，直接来状态转移方程吧：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + arr[i][j]  （当j==1时）

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + arr[i][j]   （当j==i时）

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+arr[i][j], dp[i-1][j]+arr[i][j])   （除去以上两种情况外）

边界：dp[1][1] = arr[1][1]

其实这里我们的dp数组和arr数组不使用下标为0的部分，可以直接使用第三个状态转移方程，因为其他非数塔部分为0，自然在max里比较是较小的部分。

代码

#include<cstdio>
#define max(a,b) (a)>(b)?a:b
int dp[1010][1010];
int arr[1010][1010];
int r;
int main()
{
	scanf("%d", &r);
	for (int i = 1; i <= r; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
			scanf("%d", &arr[i][j]);
		}
	dp[1][1] = arr[1][1];   //初始化dp
	for (int i = 2; i <= r; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1]+arr[i][j], dp[i - 1][j]+arr[i][j]);  //状态转移方程
		}
	int maxn = 0;
	for (int i = 1; i <= r; i++)
	{
		if (dp[r][i] > maxn)
			maxn = dp[r][i];
	}
	printf("%d\n", maxn);
	return 0;
}