关于矩阵求逆和初等变换的一些理解

关于矩阵求逆和初等变换的一些理解

  1. AA^{-1} = E

  2. (A | E) = (E | A ^ {-1})

从简单的初等矩阵说起

初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换而得到的矩阵。

初等矩阵有三类，以对E变换为例：

第一类初等矩阵： 对调E的两行(列)，记作 E_{ij}

第二类初等矩阵： 数k(k!=0)乘E的第i行(列)，记作 E_i(k)

第三类初等矩阵： 以数k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)，记作 E_{ij}(k)

接下来，我们来看看你初等矩阵和它逆矩阵的一些性质：

  1. E_{ij}^{-1} = E_{ij}

  2. E_i^{-1}(k) = E_i(1/k)

  3. E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k)

  4. 对矩阵A施行一次s类初等行(列)变换，相当于A左(右)乘第s类初等矩阵。

到这，我们发现初等矩阵可理解为一次初等变换操作，而初等矩阵的逆矩阵其实就是该初等矩阵对应初等变换的一次逆变换。也就是说对矩阵A左(右)乘一个初等矩阵C后再左(右)乘C^{-1}，最后得到的矩阵还是A。

而我们知道，任何一个可逆矩阵A都可由一个单位矩阵E经过一系列的初等变换得到。也就是说这一系列初等变换作用在E上就得到了A。我们暂且就认为A就是这一系列初等变换的有序集合。那么A^{-1}呢？A^{-1}就是A中每个初等变换的逆变换形成的有序集合。

那 A^{-1}A=E 就很好理解了

A^{-1}A=E 可以写成 A^{-1}AE=E ，就相当于先对E实施了集合A中的一系列初等变换操作，接着又实施这一系列操作的逆操作，所以最后得到的还是E。

再来看 (A | E) = (E | A ^ {-1})

(A | E) = (E | A ^ {-1}) 是矩阵求逆的常用方法。把公式左边写成A的增广形式(A | E)是为了同时对A和E实施相同的操作。

我们的变换目标是把A转化为E，A = AE ，AE就是对E实施了集合A中的一系列初等变换操作，在实施它的所有逆操作A^{-1}就可以回到E了，而A^{-1}又同时作用到了E上，所以E就变成了A^{-1}。

posted @ 2019-12-24 20:36  路漫漫我不畏  阅读(3570)  评论(0)  编辑  收藏  举报