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基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

dy=f(x)dx

可以看出,要计算函数的微分,只要计算函数的导数,再乘以自变量的微分.因此,可得如下的微分公式和微分运算法则.

1.基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式,可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照,列表于下:

2.函数和、差、积、商的微分法则

由函数和、差、积、商的求导法则,可推得相应的微分法则.为了便于对照,列成下表(表中u=u(x),v=v(x)都可导).

再根据乘积的求导法则,有

(uv)=uv+uv

现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.
根据函数微分的表达式,有

d(uv)=(uv)dx

于是: d(uv)=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx

由于: udx=du,vdx=dv

所以: d(uv)=vdu+udv

其他法则都可以用类似方法证明。

3.复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:

y=f(u)u=g(x)都可导,则复合函数y=f[g(x)]的微分为

dy=yxdx=f(u)g(x)dx

由于g(x)dx=du,所以,复合函数y=f[g(x)]微分公式也可以写成

dy=f(u)dudy=yudu

由此可见,无论u是自变量还是中间变量,微分形式dy=f(u)du保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示,当变换自变量时,微分形式dy=f(u)du并不改变.




参考: 《高等数学》同济六版 -> P116
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