基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

\[\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \]

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如下的微分公式和微分运算法则.

1.基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照，列表于下：

2.函数和、差、积、商的微分法则

由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.为了便于对照，列成下表（表中u=u（x），v=v（x）都可导）.

再根据乘积的求导法则，有

\[( u v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime } \]

现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.
根据函数微分的表达式，有

\[\mathrm { d } ( u v ) = ( u v ) ^ { \prime } \mathrm { d } x \]

于是: \(\mathrm { d } ( u v ) = \left( u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime } \right) \mathrm { d } x = u ^ { \prime } v \mathrm { d } x + u v ^ { \prime } \mathrm { d } x\)

由于: \(u ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } u , \quad v ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } v\)

所以: \(\mathrm { d } ( u v ) = v \mathrm { d } u + u \mathrm { d } v\)

其他法则都可以用类似方法证明。

3.复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：

设 \(y=f(u)\)及\(u=g(x)\)都可导，则复合函数\(y = f [ g ( x ) ]\)的微分为

\[\mathrm { d } y = y _ { x } ^ { \prime } \mathrm { d } x = f ^ { \prime } ( u ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \]

由于\(g'(x)dx=du\)，所以，复合函数\(y=f[g(x)]\)微分公式也可以写成

\(\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u\) 或 \(\mathrm { d } y = y ^ { \prime } _ { u } \mathrm { d } u\)

由此可见，无论\(u\)是自变量还是中间变量，微分形式\(dy=f'(u)du\)保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式\(dy=f'(u)du\)并不改变.

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参考： 《高等数学》同济六版 -> P116