基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分的表达式
可以看出,要计算函数的微分,只要计算函数的导数,再乘以自变量的微分.因此,可得如下的微分公式和微分运算法则.
1.基本初等函数的微分公式
由基本初等函数的导数公式,可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照,列表于下:
2.函数和、差、积、商的微分法则
由函数和、差、积、商的求导法则,可推得相应的微分法则.为了便于对照,列成下表(表中u=u(x),v=v(x)都可导).
再根据乘积的求导法则,有
现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.
根据函数微分的表达式,有
于是:
由于:
所以:
其他法则都可以用类似方法证明。
3.复合函数的微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:
设 及都可导,则复合函数的微分为
由于,所以,复合函数微分公式也可以写成
或
由此可见,无论是自变量还是中间变量,微分形式保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示,当变换自变量时,微分形式并不改变.
参考: 《高等数学》同济六版 -> P116
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