微分的几何意义
微分的几何意义
为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何意义.
在直角坐标系中,函数的图形是一条曲线.对于某一固定的值,曲线上有一个确定点,当自变量 x 有微小增量时,就得到曲线上另一点。从图2-11可知:
过点M作曲线的切线MT,它的倾角为,则
即
由此可见,对于可微函数 而言,当 是曲线上的点的纵坐标的增量时,就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.当很小时,小得多、因此在点 M 的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数,在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段,这在数学上称为非线性函数的局部线性化,这是微分学的基本思想方法之一.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.
参考: 《高等数学》同济六版 -> P115
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