数据结构（一）:数据结构的基本概念和算法的时间和空间复杂度

数据结构讨论的范畴

计算机技术的两大支柱：1是数据结构，2是算法。在某种程度上讲，程序设计等同于数据结构+算法。

程序设计是为计算机设计一组指令集，算法是解决问题的策略，数据结构是模型。

问题包括：数值计算，解方程，

非数值计算的问题：计算机对弈，棋盘，棋子如何表示（模型），规则策略（算法）

我们讨论的是：实体的数学模型（非数值计算）及其上的操作如何在计算机上表示和实现。

相关概念

数据(Data)：是信息的载体，能够被计算机识别、存储和加工处理的数值、字符等。

数据元素(Data Element)：是数据的基本单位。也称为元素、结点、顶点、记录。程序中作为一个整体来处理。

数据项(Data Item):有独立含义的数据最小单位，也称域(Field)

关键码（key）：起标识作用的数据项

数据对象(Data Object)：是具有相同特性的数据元素的集合，是数据的一个子集。 

数据结构涉及的内容

1. 逻辑结构(Logical Structure)：数据元素之间的逻辑关系。

2. 存储结构(Storage Structure)：数据元素及其关系在计算机存储器内的表示

3. 施加在该数据结构上的操作

数据的逻辑结构

线性结构的逻辑特征：有且仅有一个开始结点和一个终端结点，并且所有结点都最多只有一个直接前趋和直接后继。

非线性结构的逻辑特征：一个结点可能有0,1,或者多个直接前趋和直接后继。如：树形、图状或者网状、纯集合。

数据的存储结构

顺序存储方法：把逻辑上相邻的结点存储在物理位置上相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现。

链接存储方法：该方法不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上也相邻，结点间的逻辑关系由附加的指针字段表示。

索引存储方法：在存储结点信息的同时，还建立附加的索引表。

散列存储方法：根据结点的关键字直接计算出该结点的存储地址。

   线性表是一种逻辑结构，若采用顺序方法的存储表示，则为顺序表；若采用链接方法的存储表示，则为链表；若采用散列方法的存储表示，则为散列表；若对线性表上的插入、删除运算限制在表的一端进行，则为栈；若对插入限制在表的一端进行，而删除限制在表的另一端进行，则为队列。

什么是算法？

算法：通过数据结构解决某一特定问题的具体步骤的描述，是有限长的操作序列。

算法特性：

--有输入：具有零个或多个输入的外界量。

--有输出：至少产生一个输出。

--可行性：所有操作可以通过已实现的基本操作运算有限次实现

--有穷性：操作步骤有限，且每个步骤能在有限时间完成

--确定性：每条操作的含义都必须明确，无二义性。

算法评价

评价一个算法的好坏一般从4个方面进行：

--正确性：是指算法是否正确；

--运行时间：执行算法所耗费的时间；

--占用空间：执行算法所耗费的存储空间；

--简单性：是指算法的易读性等。

算法性能分析与度量

算法的性能标准: 正确性，可使用性，可读性，效率，健壮性

算法的后期测试

--在算法中的某些部位插装时间函数 time( )

--测定算法完成某一功能所花费时间

算法的事前估计

--空间复杂度

--时间复杂度

空间复杂度度量:存储空间的固定部分--程序指令代码的空间，常数、简单变量等变量所占空间 和 可变部分--尺寸与实例特性有关的成分变量所占空间、引用变量所占空间、递归栈所用空间、通过new和delete命令动态使用空间

时间复杂度度量：编译时间和运行时间（独立于机器的软硬件、假设每条语句的时间是单位时间、语句的频度）

#define n 自然数
 
MATRIXMLT(A，B，C)
 float A[n][n]，B[n][n]，C[n][n]；
 {
	int i，j，k； 
(1)	for ( i=0；i<n；i++)				　　　n
(2)	   for (j=0；j<n；j++)			              n^2
	   {
(3)	           C[i][j]=0；  			　　　n^2
(4)		   for (k=0；k<n；k++)   	　　　        n^3
(5)			C[i][j]= C[i][j]+A[i][k]*B[k][j] ；   2n^3
	   }
 
}/* MATRIXMLT */

该算法中所有语句的频度之和（即算法的时间耗费）为：

T(n)=n+n2+n2+n3+2n3=3n3 +2n2+n

时间复杂度相应的数量级(阶)按递增排列

常数阶O(1)

对数阶O(log2n)

线性阶O(n)

线性对数阶O(nlog2n)

平方阶O(n2)

立方阶O(n3)

指数阶O(2n)

假定时间复杂性函数的时间单位为us