组合数小记
前言
计数的基本原理
考虑一个集合:
-
加法原理:
。 -
乘法原理:
更浅显的说当两件事情无关时为加法,当前一件的结果影响后面时用乘法。
组合数基本公式及衍生公式
排列与组合
- 排列数:
。
相当与第一个可以选
- 组合数:
。
在排列数中减去重复的
重要公式
- 递推式(杨辉三角)
感性愉悦:选不选最后一个。
理性愉悦:把式子拆开暴力计算。
- 二项式定理
感性愉悦:拆开相当于每个括号选
理性愉悦:数学归纳法。
- 组合式第
行的和: 。
用
- 偶数项减奇数项:
用
- 对称恒等式:
太显然就不证了。
- 链式恒等式(我们学长取的,没有专门的名字)
感性愉悦:等于先在
理性愉悦:拆式子计算。
此等式很好证明但推式子时可能想不起。
- 吸收恒等式
感性愉悦:先选一个出来,然后再剩下的中选出
理性愉悦:拆式子计算。
- 范德蒙德卷积式
感性愉悦:有两堆东西,总共选
理性愉悦:用二项式定理拆:
十二重计数法
球 | 盒子 | 无限制 | 至少一个 | 至多一个 |
---|---|---|---|---|
可区分 | 可区分 | |||
可区分 | 不可区分 | |||
不可区分 | 可区分 | |||
不可区分 | 不可区分 |
卢卡斯定理
主要应用为处理大范围模中等模数。
卡特兰数
求解从
证明经典迷宫翻折法证明。
应用
-
个n行n列的棋盘,从左下角走到右上角,一直在对角线右下方走,不穿过主对角线,走法种数。
-
用
个左括号和 个右括号组成一串字符串,有多少种合法的组合?
例如,"()()(())”是合法的,而“())(()”是非法的。
显然,合法的括号组合是任意前
定义左括号为
个节点构成的完全二叉树种类。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战