拟阵

拟阵

考虑一个集合 U, 定义一个子集族 I 为独立集集合

子集族:所有元素都是 U 的子集

  1. 空集是独立集 I
  2. 独立集的子集也是独立集 II,JIJI
  3. 如果两个独立集 I,JI 满足 |I|<|J|, 那么存在一个元素 uJI , 使得 I{u}I

满足上面三个性质的话, (U,I) 称为拟阵

  1. I=2U
  2. I={IU||I|k}
  3. 一个图的所有无环的边集的子集构成独立集

性质:

  1. 所有极大独立集大小都相等

应用:最小/大权独立集

有一个权值函数 ω:UR, 要求权值和最小/大的独立集

算法:把 U 中元素从小到大加,只要加进去还是独立集就加进去

证明:

设最小权独立集是 X, 其中元素从小到大是 x1,x2,,xn

Xk={x1,,xk}。 设该算法途中得到的大小为 k 的独立集是 Sk。归纳证明 ω(Xk)ω(Sk)

  • k=0, trival
  • k1, 已知 Sk1=Xk1, 设 u=SkSk1,ω(Sk)=ω(Sk1)+ω(u)ω(Xk1)+ω(u)=ω(Xk1{u}),只需要证明 ω(Xk1{u})ω(Xk)

由性质 3, 存在 vSkXk1 使得 Xk1{v}I, 有 ω(Xk1{v})ω(Xk)

由于算法流程,保证了 u 是最小的,

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