混合模型

基本想法：既不想像参数估计（最大似然，贝叶斯学习）那样需要假定特定的分布函数形式，又不想像非参数估计那样在最终生成的模型中带着所有的训练样本。

 

    

注意理解这个式子:p(j)是样本概率由第j个组分得到的概率，式（1）中也就是对联合分布求和得到了边缘分布。

P(j)的取值需要满足概率函数的约束：

    

    

同理，条件概率密度需要满足：

    这个表达式（1）有意跟我们常见的分类问题中的表达式很相像，那时的表达式是这样的：

我们一般针对每一类去确定一个特定的概率密度函数形式，然后得到最终的结果。但是有时候我们得到的数据可能不完整，缺少类标签，所以不知道p(x)由哪几个成分组成，于是出现了式（1）那种存粹靠猜的做法：就假设M种组分，各用一个概率密度函数组合成x的分布！这是思路的来源。但随后用法就可以扩展了，其实可以针对每一类用一个混合分布模型，理论上可以证明，通过组合足够多的概率密度分布，可以精确接近任何一种分布！

混合模型的求解是基于最大似然概率的。

1、最大似然

具体实施先要假设的形式，这里假设都是高斯函数，且协方差矩阵，所以：

    

似然函数表达如下：

    

这里需优化的参数有

考虑到p(j)是一个受约束的参数，求导过程不易处理，于是用softmax函数将其约束表达出来：

    

于是需优化的参数变成了：

    

对公式（3）求偏导可以得到参数的最优值（偏导为零）如下：

    

    

注意(5) (6) (7)式中都出现的可以利用贝叶斯公式计算：

                            

由（8）式可以计算（5）（6）（7），但它又要借助前面的结果，最优参数值的计算中出现了环！如果将旧值用于左边，则求出来的新值将是已有条件下的最优值，也就是比旧值更优!这就是迭代更新的策略了！

2、EM算法    

    依据前面的式（3），可以得到：

    

根据混合模型的公式（1），我们将式（9）化为：

    

又由Jensen不等式，给定序列{}，满足且，则下面不等式恒成立：

            

从而可以得到：

            

因为公式中的旧值总是已知的，可以除去公式中与新值完全无关的项，得到：

            

问题变成了在迭代过程中求解的最小值，这里为了表达作为分布函数所受到的约束，利用拉格朗日乘子法，将目标函数重新表述为：

                

利用偏导等于0，简单的变换可以直接求得拉格朗日乘子

对于高斯混合模型的情况，带入公式可以求得具体形式。

事实上，这只是EM算法的一种特例。EM算法的提出，最初针对的是不完整的数据集。这里缺失的信息就是某个特性数据x由哪一个组分生成的信息！