堆排序

    本文参考《算法导论》，整理者：华科小涛@http://www.cnblogs.com/hust-ghtao/

    堆排序和归并排序一样，时间复杂度为，而且可以实现原址排序：任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。

1. 最大堆

    (二叉)堆是一个数组，可以看成一个近似的完全二叉树。树上的每个结点对应数组中一个元素。除了最底层之外，该树是完全充满的，而且是从左到右填充。表示对的数组A包括两个属性：A.length给出数组元素的个数，A.heap-size表示有多少个堆元素存储在数组中。树的根结点为A[1]，给定结点的下标i，则它的父节点、左孩子和又孩子的下标：

                    。

   二叉堆可分为最大堆与最小堆。在最大堆中，最大堆的性质是除了根结点以外的所有结点i都要满足： 。

  在堆排序算法中我们使用的就是最大堆。

2. 维护堆的性质

      MAX-HEAPIFY是用于维护最大堆性质的重要过程。

输入：数组 A 和一个下标 i 。

前提：在调用MAX-HEAPIFY的时候，假定根结点为 LEFT(i) 和 RIGHT(i) 的二叉树都是最大堆，但A[i]可能小于其孩子，这就违背了最大堆的性质。

思路：通过让A[i]逐级下降的方式，使得下标为以i为根结点的子树遵循最大堆的性质。

伪代码如下：

，在程序的每一步中，从A[i]、A[LEFT(i)]、和A[RIGHT(i)]中选出最大的，并将其下标存储在largest中。如果A[i]是最大的，那么以i为根结点的子树已经是最大堆，程序结束。否则，最大元素是i的某个孩子结点，则交换A[i]和A[largest]的值。从而使i及其孩子都满足最大堆的性质。在交换后，下标为largest的结点的值是原来的A[i]，于是以该结点为根的子树又有可能会违反最大堆的性质。因此需要对该子树递归调用MAX-HEAPIFY。

MAX-HEAPIFY时间复杂度为。

3. 建堆

可以采用自底向上的方法利用过程MAX-HEAPIFY把一个大小为 n=A.length 的数组A[1…n]转换为最大堆。我们知道，子数组 中的元素都是树的叶结点。每个叶结点可以看成只包含一个元素的堆。建堆的过程BUILD-MAX-HEAP对树中的其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY：

BUILD-MAX-HEAP的复杂度为。

 

4.堆排序算法

伪代码：

说明：首先建堆。

因为数组中的最大元素总在根结点A[1]中，通过把它与A[n]进行互换，我们可以让该元素放到正确的位置。这时候，如果我们从堆中去掉结点n，剩余的结点中，原来根的孩子结点仍然是最大堆，而新的根结点可能会未被最大堆的性质。为了维护最大堆的性质，我们调用MAX-HEAPIFY(A，1)，从而在A[1…n]构造一个新的最大堆。堆排序算法不断重复这一过程，直到堆的大小降为2。

HEAPSORT（A）的时间复杂度为，因为建堆为，加上（n-1）次调用MAX-HEAPIFY。