希尔伯特变换卷积核函数的近似分析

说明：该分析的基础是《Fundamentals of Computerized Tomography Image Reconstruction from Projections 2ndEd》书中（8.10）式及其上下文。

函数$\phi(u)$的希尔伯特变换$[\mathcal{H}\phi](v)$为

\begin{equation}[\mathcal{H}\phi](v)=-\frac{1}{\pi} \bigg(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\phi(u)}{v-u}du\bigg)\end{equation}

其实就是$\phi$与$\rho$的卷积，即$\mathcal{H}\phi=\phi*\rho$，其中

\begin{equation}\rho(u)=-\Big(\frac{1}{\pi u}\Big)\end{equation}

称为希尔伯特卷积核函数。通过数值计算求（1）式的值较为困难，一种解决方法就是正则化卷积核函数，即用一族函数$\{\rho_A|A>0\}$来近似$\rho$，其中$A$是正整数，该正则化函数的目的是满足：$\phi$在任意合理的实数点$v$上都有

\begin{equation}\lim\limits_{A\to\infty}[\phi*\rho_A](v)=[\mathcal{H}\phi](v)\end{equation}

这就是希尔伯特变换的卷积近似表达式。现在的问题是如何确定$\rho_A$，由于很难找到可以直接逼近$\rho$的近似函数，所以从其傅里叶变换入手，寻找可行的近似表达。根据

\begin{equation}\mathcal{F}\big(\frac{1}{u}\big)(U)=-i\pi \mathrm{sgn}(U)\end{equation}

其中$\mathcal{F}$表示傅里叶变换，所以

\begin{equation}\mathcal{F}\big(\rho(u)\big)(U)=i\mathrm{sgn}(U)\end{equation}

其中

 \begin{equation}\mathrm{sgn} = \left\{ \begin{array}{ll}1 & U>0\\0 & U=0\\-1 & U<0\end{array} \right.\end{equation}

因 此逼近$\rho(u)$的问题就转化为寻找逼近$\mathrm{sgn}(U)$的函数的问题，由于$\mathrm{sgn}(U)$是奇函数，所 以只需要找到$U>0$区间上的近似函数$F_A (U)$，就可以将$\mathrm{sgn}(U)$近似表达出来。为了满足后续的数值化需求，对$F_A $的定义做如下规定：
对任意实数$A$，$F_A$是一个实值可积函数，当$U>0$时满足以下三个条件：

1. $0\le F_A(U)\le 1$，如果$U\ge A/2$，则$F_A(U)=0)
2. $F_A (U)$是关于$U$的单调非递增函数
3. $\lim_{A\to\infty}F_A(U)=1$

上述的第三个条件就是$\mathrm{sgn}(U)$在$U>0$区间的部分，常用的$F_A (U)$有：

• 有限带宽函数：$F_A(U)=1$
• 余弦函数：$F_A(U)=\cos(\pi U/A)$
• sinc函数：$F_A(U)=\frac{\sin(\pi U/A)}{(\pi U/A)}$
• 广义汉明窗函数（参数取值范围：$0.5\le \alpha\le 1.0$）：$F_A(U)=\alpha+(1-\alpha)\cos(2\pi U/A)$

此时，$\mathcal{F}\big(\rho(u)\big)(U)$的完整近似表达式为

\begin{equation}F_A^*(U) = \left\{ \begin{array}{ll}iF_A(U) & U>0\\0 & U=0\\-iF_A(-U) & U<0\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{ll}iF_A(|U|) & U>0\\0 & U=0\\-iF_A(|U|) & U<0\end{array} \right.\end{equation}

将上式进行逆傅里叶变换就可以得到希尔伯特变换卷积核函数的近似表达式如下：

\begin{equation}\begin{array}{lll}\rho_A(u) & = & \int_{-\infty}^{\infty}F_A^*(U)\mathrm{exp}(2\pi iUu)dU\\& = & \int_{-A/2}^{A/2}F_A^*(U)\big(i\mathrm{sin}(2\pi Uu)+\mathrm{cos}(2\pi Uu)\big)dU\\& = & -2\int_0^{A/2}F_A(U)\mathrm{sin}(2\pi Uu)dU\end{array}\end{equation}

上式的推导利用了$F_A^*$和正弦函数的奇函数性质以及余弦函数的偶函数性质。