相关系数
对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为：
\rho = \frac{Cov(X,Y}{\sigma_X\sigma_Y}ρ=σXσYCov(X,Y
相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
既然是一种特殊的协方差，那它：
- 也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。
- 由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。
比较抽象，下面还是举个例子来说明：
首先，还是承接上文中的变量X、Y变化的示意图（X为红点，Y为绿点），来看两种情况：
很容易就可以看出以上两种情况X，Y都是同向变化的，而这个“同向变化”，有个非常显著特征：
X、Y同向变化的过程，具有极高的相似度！无论第一还是第二种情况下，都是：t1时刻X、Y都大于均值，t2时刻X、Y都变小且小于均值，t3时刻X、Y继续变小且小于均值，t4时刻X、Y变大但仍小于均值，t5时刻X、Y变大且大于均值……
可是，计算一下他们的协方差，
协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下X、Y都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下X、Y的变化都具有相似性这一特点。
这是为什么呢？
因为以上两种情况下，在X、Y两个变量同向变化时，X变化的幅度不同，这样，两种情况的协方差更多的被变量的变化幅度所影响了。
所以，为了能准确的研究两个变量在变化过程中的相似程度，我们就要把变化幅度对协方差的影响，从协方差中剔除掉。于是，相关系数就横空出世了，就有了最开始相关系数的公式：
\rho = \frac{Cov(X,Y}{\sigma_X\sigma_Y}ρ=σXσYCov(X,Y
那么为什么要通过除以标准差的方式来剔除变化幅度的影响呢？咱们简单从标准差公式看一下：
\sigma_X=\sqrt{E((X-\mu_x)^2)}σX=E((X−μx)2)
那为何要对它做平方呢？因为有时候变量值与均值是反向偏离的（见下图），X-\mu _{x}X−μx是个负数，平方后，就可以把负号消除了。
这样在后面求平均时，每一项数值才不会被正负抵消掉，最后求出的平均值才能更好的体现出每次变化偏离均值的情况。
当然，最后求出平均值后并没有结束，因为刚才为了消除负号，把X-\mu _{x}X−μx进行了平方，那最后肯定要把求出的均值开方，将这个偏离均值的幅度还原回原来的量级。于是就有了下面标准差的公式：
\sigma_X=\sqrt{E((X-\mu_x)^2)}σX=E((X−μx)2)
所以标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差，也就是把协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉，这样协方差也就标准化了，它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。
同时，你可以反过来想象一下：既然相关系数是协方差除以标准差，那么，当X或Y的波动幅度变大的时候，它们的协方差会变大，标准差也会变大，这样相关系数的分子分母都变大，其实变大的趋势会被抵消掉，变小时也亦然。于是，很明显的，相关系数不像协方差一样可以在 ＋\infty 到－\infty＋∞到－∞ 间变化，它只能在＋1到－1之间变化（相关系数的取值范围在＋1到－1之间变化可以通过施瓦茨不等式来证明.
总结一下，对于两个变量X、Y:
- 当他们的相关系数为1时，说明两个变量变化时的正向相似度最大，即，你变大一倍，我也变大一倍；你变小一倍，我也变小一倍。也即是完全正相关（以X、Y为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为正数的直线，所以X、Y是线性关系的）
- 随着他们相关系数减小，两个变量变化时的相似度也变小，当相关系数为0时，两个变量的变化过程没有任何相似度，也即两个变量无关。
- 当相关系数继续变小，小于0时，两个变量开始出现反向的相似度，随着相关系数继续变小，反向相似度会逐渐变大。
- 当相关系数为－1时，说明两个变量变化的反向相似度最大，即，你变大一倍，我变小一倍；你变小一倍，我变大一倍。也即是完全负相关（以X、Y为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为负数的直线，所以X、Y也是线性关系的）。
有了上面的背景，我们再回到最初的变量X、Y的例子中，可以先看一下第一种情况的相关系数：
说明第一种情况下，X的变化与Y的变化具有很高的相似度，而且已经接近完全正相关了，X、Y几乎就是线性变化的。
那第二种情况呢？
说明第二种情况下，虽然X的变化幅度比第一种情况X的变化幅度小了10000倍，但是丝毫没有改变“X的变化与Y的变化具有很高的相似度”这一结论。同时，由于第一种、第二种情况的相关系数是相等的，因此在这两种情况下，X、Y的变化过程有着同样的相似度。
