协方差
通俗地讲, 协方差可以理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？
你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
协方差公式化简一下: Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]Cov(X,Y)=E[(X−μx)(Y−μy)]
如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积,再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了.
下面举个例子来说明吧：
比如有两个变量X,Y，观察t1-t7（7个时刻）他们的变化情况。
简单做了个图：分别用红点和绿点表示X、Y，横轴是时间。可以看到X，Y均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。
这时，我们发现每一时刻X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值的“正负号”一定相同（如下图：比如t1时刻，他们同为正，t2时刻他们同为负）:
所以，像上图那样，当他们同向变化时，X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积为正。这样，当你把t1-t7时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。
如果反向运动呢？
很明显，X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值的“正负号”一定相反，于是X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积就是负值了。这样当你把t1-t7时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积加在一起，求平均的时候也就是负数了。
当然上面说的是两种特殊情况，很多时候X，Y的运动是不规律的，比如：
这时，很可能某一时刻X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值乘积为正，另外一个时刻X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值乘积为负。
这时，很可能某一时刻X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值乘积为正，另外一个时刻X-μ{x}X−μx的值与Y-μ{y}Y−μy的值乘积为负。
所以，t1-t7时刻中，X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积为正的越多，说明同向变化的次数越多，也即同向程度越高。反之亦然。
总结一下，如果协方差为正，说明X，Y同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明X，Y反向运动，协方差越小说明反向程度越高。
那如果X，Y同向变化，但X大于均值，Y小于均值，那X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积为负值啊？这不是矛盾了吗？
这种情况是有可能出现的，比如：
可以看到，t1时刻，X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的符号相反，他们的乘积为负值。
但是，总体看，这两个变量的协方差仍然是正的，因为你还要计算t2，t3……t7时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积，然后再把这7个时刻的乘积求和做均值，才是最后X，Y的协方差。1个负、6个正，显然最后协方差很大可能性是正的。
所以t1时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积为负值，并不能说明他们反向运动，要结合整体的情况来判断。
那么你可能又要问了，既然都是同向变化，那t1时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积为负值、其他时刻乘积为正的这种情况，与，t1-t7时刻X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的乘积均为正值的情况，到底有什么差异呢？这点其实前面也解释过了，差异就是：第一种情况的同向程度不如第二种情况的同向程度大（第一种情况6正1负，第二种情况7正，所以第一种情况的协方差小于第二种情况的协方差，第一种情况X，Y变化的同向程度要小于第二种情况）。
另外，如果你还钻牛角尖，说如果t1，t2，t3……t7时刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，这种情况协方差不就是负的了？7个负值求平均肯定是负值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向变化的，这不就矛盾了？
这个更好解释了：这种情况不可能出现！
因为，你的均值算错了……
X，Y的值应该均匀的分布在均值两侧才对，不可能都比均值大，或都比均值小。
所以，实际它的图应该是下面这样的：
发现没有，又变成X-μ{x}X−μx与Y-μ{y}Y−μy的符号相同的情况了～有没有种被大自然打败的感觉～
好了，现在，对于协方差应该有点感觉了吧？
