剑指offer-第二章算法之斐波拉契数列（青蛙跳台阶）

递归与循环

递归：在一个函数的内部调用这个函数。

本质：把一个问题分解为两个，或者多个小问题（多个小问题相互重叠的部分，会存在重复的计算）

优点：简洁，易于实现。

缺点：时间和空间消耗严重，如果递归调用的层级太多，就会超出栈容量。

循环：通过设置计算的初始值及终止条件，在一个范围内重复运算。

斐波拉契数列

题目一：写一个函数，输入n,求斐波拉契（Fibonacci）数列的第n项，定义如下：

第一种解法：用递归的算法：

long long Fabonacci(unsigned int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	if(n==1)
		return 1;
	return Fabonacci(n-1)+Fabonacci(n-2);
}

 当n=10的时候的调用图如下：

从上图我们可以看到递归的时候，有很多数都被重复计算了，对性能带来极其负面的影响，改算法的时间复杂度为n的指数次方。

第二种解法：用循环（时间复杂度为O（n））

#include <iostream>
using namespace std;
long long Fabonacci(unsigned int n)
{
    int arrary[2]={0,1};
    long long FabN;

    if(n<2)
        FabN=arrary[n];
    long long FabOne=1;
    long long FabTwo=0;
    for(unsigned int i=2;i<=n;++i)
    {
        FabN=FabOne+FabTwo;
        FabTwo=FabOne;
        FabOne=FabN;
    }
    return FabN;
}
void main()
{
 long long n=Fabonacci(15);
 cout<<n<<endl;

}

java代码：

public class Fabonacci {
      //斐波拉契数列的非递归的实现，用循环。时间复杂度为O(n)
    public int fabonacci(int n){
        int[] a={0,1};
        if(n<2)
            return a[n];
        int FabOne=0;
        int FabTwo=1;
        int FabN=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            FabN=FabOne+FabTwo;
            FabOne=FabTwo;
            FabTwo=FabN;
        }
        return FabN;
    }
    //斐波拉契数列的递归写法
    public long fabonacci1(long n){
        long fabN=0;
        if(n<=0)
          fabN=0;
        else if(n==1)
          fabN=1;
        else
            fabN=fabonacci1(n-1)+fabonacci1(n-2);
        return fabN;
    }
    public static void main(String[] args){
        Fabonacci fab=new Fabonacci();
        int f=fab.fabonacci(5);
        long f1=fab.fabonacci1(5);
        System.out.println(f+" "+f1);
    }
}

题目二：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上2级台阶，求该青蛙跳上n级台阶的共有多少种跳法。

思路：当只有一级台阶的时候，青蛙的跳法也只有一种。当有两级台阶的时候，青蛙的跳法有两种（一是：一下跳两级台阶，二是：一级一级的跳）。当有n级台阶的时候，青蛙在第一次起跳的时候只跳了一级台阶，则还剩下n-1级台阶的跳法，如果在第一次起跳的时候跳了两级台阶，则还剩下n-2级台阶的跳法。整个题目正好是一个斐波拉契数列。公式如下：

 

 题目三：矩阵的覆盖，用八个2*1的小矩阵去覆盖一个2*8的大矩阵。如下图所示：

第一个小矩阵可以有两种覆盖方法横着，那么此时，必须由第二个小矩阵也横着，剩下2*6的大矩阵；竖着，那么还剩下2*7的大矩阵需要覆盖。因此可得:f(8)=f(6)+f(7).

公式同上第二题。