排序系列【比较排序系列之】堆排序

堆排序，顾名思义是通过直接选择排序衍生而来的。直接选择排序是直接从剩余记录中线性的查找最大记录的方法，并没有巧妙的利用前一轮查找所得到的信息，而堆排序，利用堆数据结构来保存剩余记录相对大小的信息，因而是更有效的选择排序。
堆分为最大堆和最小堆，本篇我们通过最大堆来实现我们的功能。
最大堆需要满足的条件： 堆中每个父节点中的数据项都要大于或等于其子节点中的数据项。
堆排序主要有两个步骤：

1. 对所有记录建立一个最大堆。
2. 取出堆顶的最大记录与数组末端进行交换，最大记录放在下标n-1的位置；
3. 对剩余堆记录进行调整，再次形成一个最大堆；
4. 再次取出对顶的最大记录与数组末端进行交换，最大记录放在下标n-2的位置；
5. 不断重复，直到堆为空，也就是排序完成。

示例数组如下：【49,38,65,97,76,13,27,49】
通过筛选法建最大堆的前提条件：

1. 堆的初始位置从0开始，依次递增；
2. 若父结点的位置为i;则左孩子结点位置为2i+1；右孩子结点位置为2i+2;

3. 筛选位置从最后一个非结点编号开始，也就是n/2-1向下取整。

   初始堆如下：
   

筛选位置从最后一个非结点编号开始，n=8,所以初始筛选位置为i=3，也就是i=97;
因为97>49,所以位置不变；然后继续比较i,i–；
i=2时，因为13<27,且65>27，所以位置依旧不变。
i=1时，因为97>76，所以比较38和97，因为38<97所以交换位置；又因为38<49所以继续交换位置，最后堆位置如下：

i=0时，因为97>65,所以比较49和97,因为49<97,交换位置；又因为49<76,继续交换位置，最后堆位置如下：

到此位置，排序完成，堆变成了一个最大堆。
接下来则进行交换流程，将n-1位置的值与堆顶位置的值进行交换；

1、 i=7;交换位置7上的值和堆顶的值

交换完毕，再次调整除了i=7之外的堆元素，再次转换成一个最大堆。

2、当i=6；交换位置6和堆顶的值，然后调整属于的元素；
3、当i=5；交换位置5和堆顶的值，然后调整属于的元素；
…
当i=1时；交换位置1和堆顶的值，交换流程到此结束，最后的堆如下：

以上是针对堆排序的分析流程，如下则是代码：

public static void main(String[] args) {
        int[] array = {49,38,65,97,76,13,27,49};
        heapSort(array,array.length);
    }

    /**
     * 堆排序的主过程
     * @param array
     * @param n
     */
    static void heapSort(int[] array, int n) {

        int i;
        int temp;
        for (i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {
            sift(array, i, n - 1);
        }
        for (i = n - 1; i > 0; --i) {
            temp = array[0];
            array[0] = array[i];
            array[i] = temp;
            sift(array, 0, i - 1);
        }

    }

    /**
     * 调整函数
     * @param arr
     * @param low
     * @param high
     */
    static void sift(int arr[], int low, int high) {
        int i = low;
        int j = 2 *i  + 1;
        int temp = arr[i];
        while (j <= high) {
            //判定左孩子结点和右孩子结点的大小，进而决定跟结点到底与谁作比较
            if (j < high && arr[j] < arr[j + 1]) {
                ++j;
            }
            if (temp < arr[j]) {
                arr[i] = arr[j];
                i = j;
                j = 2 * i + 1;
            } else {
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;
    }

而时间复杂度，我们通过以上分析和代码都可以发现，其堆排序的过程其实就是建最大堆和交换最大值之后重建堆的过程。
对于有N个结点的堆 ，其层数为logN.设置i表示二叉树的层编号，则第i层的结点数最多有2^i个。
就拿n=8举例：i=0,1,2,3
当i=3时，该层含有的最多结点个数为2^3=8个，因为是最底层，所以不需要比较，比较个数为logN-i=0；
当i=2时，该层含有的最多结点个数为2^2=4个，需要和其孩子结点（比较到最后一层）进行比较，logN-2=1；
当i=1时，该层含有的最多结点个数为2^1=2个，需要和其孩子结点进行比较（比较到最后一层）进行比较，logN-1=2次，所以当n=8时，logN=3,需要的比较次数为：2^3(3-3)+2^2(3-2)+2^1(3-1);
所以当结点数为N时，堆排序需要的比较次数为:∑求和，logN,i=0开始，2^i(logN-i).

而对于重建堆的过程，待定。