D. Petya and Coloring 题解(组合数学+dp+容斥)
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构造方法比较容易想到
第1列和第m列的颜色种数要相等,中间的列颜色来源于第1列和第m列中的共同颜色
主要的问题是如何解决\(n\)个元素里面存在\(i\)个元素,且每个元素至少存在一次的方案数
这是一个经典问题,可以利用dp+容斥去解决
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-6;
int n,m,k;
ll fac[maxn],finv[maxn];
ll dp[1000+5];
ll qpow(ll a,ll b){
ll ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1) ans=ans*base%mod;
base=base*base%mod;
b=b>>1;
}
return ans;
}
void init(){
fac[0]=finv[0]=1;
for(int i=1;i<=1e6;i++){
fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
finv[1000000]=qpow(fac[1000000],mod-2);
for(int i=1e6-1;i>=1;i--){
finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
}
ll c(ll a,ll b){
if(a<b) return 0;
ll ans=fac[a]*finv[b]%mod*finv[a-b]%mod;
return ans;
}
signed main(){
init();
cin>>n>>m>>k;
if(m==1){
printf("%lld\n",qpow(k,n));
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i]=qpow(i,n)%mod;
for(int j=1;j<i;j++){
dp[i]=((dp[i]-dp[j]*c(i,j))%mod+mod)%mod;
}
}
ll pr=0;
int beg=0;
for(int i=beg;i<=min(n,k);i++){
for(int j=0;j<=min(n,k);j++){
if(i+j>min(k,n)) continue;
ll ans=dp[i+j]*dp[i+j]%mod;
ans=ans*c(k,i)%mod*c(k-i,j)%mod*c(k-i-j,j)%mod*qpow(i,(m-2)*n)%mod;
pr=(pr+ans)%mod;
}
}
printf("%lld\n",pr);
return 0;
}
不摆烂了,写题