概率期望问题

前言

本来在学高斯消元但是看到这篇博客链接一发不可收拾的先学概率期望主要是三门问题有点意思

本文很多内容直接来源上博客

注意概率问题一般顺推，期望问题一般逆推

习题1

题意

每张彩票上有一个漂亮图案，图案一共n种，如果你集齐了这n种图案就可以召唤神龙兑换大奖。

现在请问，在理想（平均）情况下，你买多少张彩票才能获得大奖的？\(n\leq33\)

思路

这是一个很经典的题目，我用一种简单的方式来说

先说结论答案是调和级数 \((\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+...+\frac{1}{1})\times n\)

假设现在有k种了，那么多获得一种的概率为\(\frac{n-k}{n}\) 即期望为\(\frac{n}{n-k}\)

那么综上答案即为\((\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+...+\frac{1}{1})\times n\)

由于这题的输出比较毒瘤，我就不写了把。。。

习题2

题意

一个01串中每个长度为\(x\)的全1子串可贡献\(x^3\)的分数。给出n次操作的成功率\(p[i]\)，求期望分数。

思路

\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

每多增加一个1，答案增加了\(3x^2+3x+1\)

然后维护\(x\)和\(x^2\)的期望 这个题目值得记录下

习题3

题意

n个数1~n，第k次取数需要k元，每次取数对于所有数概率均等\(\frac{1}{n}\),问取完n个数的期望花费

思路

这种问题感觉一般都没必要列太多式子，想太麻烦，直接往概率方面想即可

对于总共n张邮票 手里有i张邮票，下一次买到新邮票的概率为\(\frac{n-i}{n}\), 买的次数期望即为其倒数\(\frac{n-i}{i}\)。

然后我们把价格给他考虑进去，可以发现对于第i张邮票，为了获得它的平均价格是购买前i张邮票的期望次数之

和把每一次的价格和次数的期望乘一下累计到答案里面就行了

习题4

题意

现在帕琪有 7 种属性的能量晶体，第 i 种晶体可以施放出属性为 i的魔法，共有 \(a_i\)个。每次施放魔法时，会等概率随机消耗一个现有的能量晶体，然后释放一个对应属性的魔法。连续施放的 7 个魔法中，如果魔法的属性各不相同，就能触发一次帕琪七重奏。求琪七重奏的期望次数是多少

思路

为啥都感觉好玄学

设\(n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\)

前7个凑成第一个的七重奏的期望很简单就是

\(\Large 7!\times \frac{a_1}{n} \times \frac{a_2}{n-1} \times \frac{a_3}{n-2}\times \frac{a_4}{n-3}\times \frac{a_5}{n-4}\times \frac{a_6}{n-5}\times \frac{a_7}{n-6}\)

而总共有\(n-6\)种情况可以构成，然后上述式子乘以\(n-6\)即可

注意\(n\)小于7直接特判为0

题目5

题意

题意实在太长了，自己看吧

思路

乍一看条件多的一批。

其实很简单设\(dp[i][j][0/1]\)表示前\(i\)个阶段使用\(j\)次交换，且第\(i\)次是否交换

知道方程转移就简单很多了，由于点很少，最短路直接floyd即可